随机赛程的最佳策略

引言
6 k3 d( k) u  u4 ?! n( O7 ~5 {; |
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
- b  F+ o. x8 E' b4 j5 U3 V9 C( N
问题


7 _% x6 U, A5 O( @  s& i/ v有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

- {: z& x/ j! A# `+ s6 r' Y/ n- z当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
( L2 A) g: [* B& Y! [  J  x
本文

6 M- S9 J6 J! \# t3 J+ L; p
问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
3 A% C' p3 N& T) j
. c2 |, H: Q! l' P" u5 C为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
9 M4 L# e: a' j) \& H
+ k9 z. T' b6 D8 t0 J
) y4 j% A* m3 m* z方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
( }# a8 n' a2 ?, @2 N+ V4 H方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
* ^& N0 X4 d# m方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

) l" I3 D) M  E, s" U  r++,
+-++,-+++,
! R( F( D  W) r: p( Y0 H3 K% p2 S/ m1 ~+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


) c8 w: x3 F' p0 ^  Y4 T, f
5 n/ A0 m. S/ z" U


; v6 O  F/ `4 ~3 m' i



1 u3 F6 P0 D. w0 _6 U现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
6 t! x8 M/ C- |
++,+-+,
6 a1 L9 e+ T8 v-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
3 T* j1 C" ~' n" V5 _9 [, _-+-+++,-+-++-+,
4 t% F5 Q% a9 [6 X# h, i                                 
6 }- X0 t* P+ G) H, ,
% P3 ?0 k8 R, l- n                                                                                。
4 U* t$ H$ c) {
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


1 Q0 j+ U" u" m( C1 I5 r
' g6 |" l( W5 A

$ {4 b0 a8 Y& V+ j
2 m/ s2 E6 F) v* X* f

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
& d: `7 P: D' z3 T3 G9 z- ?
, F8 l$ f: x$ ?  |现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
$ N% j" s) N+ s+ u: Z
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
: i4 o6 m6 y+ W+ _1 B+ F' c

情况一：  
/ S& |9 F! x' B' C+ S+ D2 y. t- K此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
4 p1 n- I% n7 G此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
7 P) H  I$ m3 o
/ d) Y8 t! Z4 m4 X) u  k情况三：
3 ]5 T) K2 ^' @" L9 R9 d) ]此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

7 @$ K8 A# H4 d- ^6 S现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
6 [! X5 j" W0 K3 f& o! j, J
6 d* K: z  _" u1 q: N: G1 S由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
3 t+ D6 E7 T3 \* D+ }
: Y) Y: e+ ~9 g2 I
( Z. h# p: o+ f% m) x" @- @情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
5 d1 A  A* P1 Y. D( `$ B) y; [9 H

4 C% N) m- l, b
+ i( b- B8 p/ l# y
& }0 R& u2 v7 Y3 g( `7 w8 E

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
" @+ T& y4 w- T8 R0 z1 A, V' L: t
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
1 O% n! n0 e: U
3 Y# s& t: ^7 x7 b8 d+ p) Y3 I


; _( S% I4 J8 |  \" i

. G) F2 p/ R% b这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
) F  b  ^  r. i( a% _) B6 ^: t利用p+q=1，上组方程式可改写为
8 B5 C/ t5 }" o' ]& X
: ~! h; C1 t! @, D4 Z
4 I, c$ s2 c3 n/ z/ r# C3 I

4 `. n2 E) E: F
! `. ^5 D( s. j+ Z) w, M
0 l; j& y, X- e4 ?+ `# A9 i( o  ~两边相加，并利用 、，得
% }5 t7 J" G' v


3 w* [- y/ Z+ E+ u
! z: E* ^/ {: N4 `& t. M
- }* o) |# L# A9 p
若取前 c 项相加，则得
" p1 [7 |0 C2 \1 {$ o- R
! ^) a! f$ i1 U! j% ~. M
; p. H, c' d0 s( }8 i

% }0 i7 B( v* e+ b8 M& `) a) l! N- _8 _
/ j, _! b/ M+ u4 ?
4 j% v8 s0 B" S4 z5 g! ?4 f情况三：  
. s0 o* c& ^5 p7 z3 w0 h1 n仿二之解法，可求得
3 \7 F  ?3 n, s+ p- y) A- H7 n
- X. X1 S- b7 h0 L. c3 Y: d8 h
, ?0 p2 v8 _+ L1 m8 z! J$ j5 z

% y, y( k' D* Z2 H4 P/ ?6 {6 s
8 R4 h- f. H& }+ u! T2 [

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

) m" D1 ]8 v* d2 v+ x8 S9 g首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
: z1 p7 V0 x3 o. n" k0 J) s2 z
9 v7 Z0 J6 E3 C( y
; G# L% P$ X# ]/ ~: F定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
+ W3 q$ F# V& K3 l: w& v! n  D
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
7 y* m1 g- r$ j/ Q
* \% c0 o4 e& W" V+ Q至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
  q4 s, N8 X$ f
0 f' |3 A6 y* q, g3 L

! r* x. b" K# ^- B+ Q6 G


5 }4 Z5 w2 U+ f3 X7 c8 o5 R; H$ o
% z3 R; d" A* M6 H" C
其中  为所下注之金额。利用
4 K- Y  u  y( C( u# z







3 N, A" n* w3 C8 o" X可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
7 I4 i8 b& ^* Y" G8 k! x; c. C0 Z
' V) k. b% E/ M
  i- a/ ^  P. x
; f! U( H1 ~2 E! w' y. a) p( b
4 P/ d4 B0 ~, I" U
3 Y( r6 P5 ]# B5 W% |, v9 A' A

& G1 c) T- n/ \$ ~( G
因此可得在情况二， 时，
* G" c/ Q- j1 y! }1 i5 ~





# i, w, j' d4 n0 l0 y9 `
$ B) {3 Z* [7 k0 o, K. m$ f
而在情况三， 时，

4 f# A0 _( a; j( N
9 W9 J7 w7 ^9 I- h# A5 g* L

' d5 l, c  t- X$ W$ C



但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
: u2 L( R, K* i9 O2 o
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

4 _. O6 _" n0 z; `3 w1 r. X附录
( P1 \& b5 ]; b2 U' S
# b$ f3 N" V" h. i2 J
+ i- A. P/ ^9 f% t/ M在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

- P! b6 F7 u9 f8 m2 }& @4 @7 q, e





& r. Q- L8 M, [( k2 R
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！