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1#
引言 - u4 M6 ~! @  }. X& n
: k% Y4 D6 P9 T3 b
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
* U' a) |, o; Q/ E, _9 V2 ~
+ J/ ~* R5 Y- S( p9 N* H问题
! p  Z0 o6 P. y! _8 u( q4 A# ^0 K5 h' a, w% o# X( X" h% U

5 I# R; d& l7 r有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? ; f2 }/ N% h. S/ ]9 i$ N* V5 I' d

  Q* r/ P( @5 B2 Y6 f4 b! a" |  n当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 8 a$ M; {* A( r: y) j" P

! F8 s0 o8 L* ]( Q& ?1 a本文 : ~* Y" C/ y  p  V: B

, s/ G9 }  T) S6 a# a0 u. {6 k
6 M2 F. q: m( O" }: ~) z问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
" C7 }: T" c: \' G
/ z% e- y. `6 Y( E( s( w0 b为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 + P% T2 K9 d) C# [1 o0 J/ U  |
& W# r. C7 J+ N4 ?
/ K; }: [) q( T' l" T4 ]0 L" S- B
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) / R/ [1 G1 S  ~2 Z4 C& H5 N) O
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
, Y2 x5 z. U4 G" X方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
1 i( H) q  `! A  @+ _7 X. j1 A你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
% r( ^8 E2 i$ ^) ^, W* x0 F; y8 y$ H- e3 z' n
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
, Z; T1 [( E% k# X7 {& q2 \# I5 v7 x9 _5 y3 f
++,
( m5 n# O- K+ x& R+-++,-+++, 5 K3 X9 Y6 i4 T- p
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, ' O( D* E- H) E7 c
                                                                                                。 + ~6 H4 v3 o4 I8 U
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为   y9 q8 G# B$ U2 u4 }

  d! `( C( `5 u2 ?% r0 r. S6 s. _

+ z  O6 z0 |+ f9 R1 r% |' k) F( w; t( a5 g8 F, k  e

7 P/ N$ U% r0 p0 |
" l9 Y* P0 l6 j0 A4 p; L2 k% i9 s" [8 |2 Y. N
, q8 E1 H# i3 W1 _5 D  [/ h

7 l. E1 B/ k7 O  p: i: n7 t& c  n" I6 m; a. N! M% `
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
0 W! l' D2 }( Q0 H% S/ D- F
/ @) F# n# R0 {5 }9 K* t0 K+ C! H++,+-+, 9 F" w& K9 ?6 z* C! w) F6 F! w/ @( D
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
& D; J& s! b& f: f3 N% U3 m' I-+-+++,-+-++-+, ! @! _, T1 X' p+ k$ S4 y( `
                                 : A" D+ Q, G/ O- `, w% s
, , $ j9 s% J: E9 X4 Z, D
                                                                                。
# J1 Z0 @+ Y# [' k
1 D' u9 n9 }: h7 w) _仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
3 F3 A1 P$ X* j6 E2 C
. w5 B1 l* [7 W% I3 |% p& Z( i# w
, p1 @# s; Q4 z7 T! ~' G
7 o) E$ u$ V8 i' R; s3 ^7 ~$ o9 [1 g2 J
$ k" d3 U1 R" S3 b+ h  ^
6 J0 o) T. e7 M0 c

, t8 A6 K. Y" n! P0 K0 Q- X3 E; F  n2 [1 T" T6 x1 o- }
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
4 d1 G: N+ u' d' e- e
/ I$ K! ~5 ^6 v7 q) o$ D$ H现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。
7 K7 N7 O# \& M* F/ `- }6 e9 ?& i( [3 r$ @/ r2 x
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
- U+ Y6 ~1 ]$ l
1 ~  @4 K5 {) R4 J4 _7 M现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 ! {" h  h5 W: ?1 e  O) G  f+ E: V

4 |2 g( C" L; T: J+ v- K+ M: j8 x8 r4 F: f2 U5 `
情况一:  
) [( S. y" ~' {5 i$ K9 m此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 6 j8 E% K: L; ]5 R1 R5 U
5 C8 Q( _1 s- R
情况二:  
( w$ }0 S: i7 ~$ k' `' I( r此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
- j$ T$ ~: m% y* _9 Z" K* I# S- i6 U/ c
情况三: 3 Q  K) P; j9 m- r$ v* A2 ]8 `
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
& m" H. L8 R* A$ W, \
, J& r2 L, W0 P4 b+ X$ S现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 $ ^6 X6 d! g8 r/ ^. }2 _' A

# h# y$ |! h2 }: ^- }由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。
* O4 i0 Q! r! x' \: w- Z, `$ R" J9 D+ g$ D( p
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 " ^/ f5 e* U3 L& {# o0 D

* L/ S4 p1 t) i4 V6 g' M0 C* X! S+ |  {
情况一:  
4 ^! J5 {) O1 T& C% `假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 ; s5 G& i5 j. [8 C
4 h+ l( _# ?( X. g

4 ~, \7 c( E! f1 ^9 o% d8 p
; ~$ L1 v/ m6 `% S( `0 l
% J& j% m' A' E2 A' r1 D6 N/ b1 X  p7 O% r$ h

9 ^8 F* o, x6 p+ j' u9 V7 @2 ]这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。 ( q4 u4 g2 Y  A" n2 L! N

: U* g( q/ _% V7 P& Z情况二:  , u, y, ]. {& Q5 Y" X: g+ r
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
8 u, j8 D  e* J+ Y+ u4 Q) I4 b
& l, o8 g' a& k' X8 o" G' x8 @
2 t& g4 p' q7 t+ ~
4 q' J6 H1 j) y* H$ t
; N2 G1 w+ x- N# Z! E
) x; v/ J3 T6 @' M2 d3 q, |( q
3 ]: E$ s% ]& `9 A5 Y+ c; A这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 ; J/ I; c) e) T: R3 b
利用p+q=1,上组方程式可改写为
2 ^% S* x% O: H3 f
2 q$ {2 z" B7 R! s1 }8 h4 C& L& e4 H) P$ |: u3 G* n8 j
; J- E3 ~! Z/ e# R3 i- N# ^

, S5 Y9 z6 z- t( G5 O! X5 \5 H! q7 _6 M- S, l- K0 {$ Y

2 D" z" \" R8 r% k两边相加,并利用 、,得 ' A2 t$ R, o0 q
: K( u4 `3 T, ]3 l* Y

  ^+ S6 K, J" H* V( a3 N' I+ q2 t5 I/ M/ j

/ O, f- V+ M8 a# O/ ~8 w& l' v* n  _& ?

2 j. n& `/ h, h若取前 c 项相加,则得
8 _; n% F  p- J" W* {; [" Z# o5 A3 D+ I4 A5 D5 X2 T/ `5 R) `* a
8 |" o. b$ D) J- a0 n/ Q
  q) z1 G  l$ f8 l5 `/ C4 ]9 d' ^

8 a7 p$ x' O+ |# |3 P: n+ N+ L3 C, I* ^# {0 B/ b- w6 J# U; }

0 `2 J1 f$ g! S0 k2 C1 u+ J  J情况三:  
  ^$ d+ ?0 g. G0 y* f仿二之解法,可求得
$ k1 u7 w/ ~2 I  W
& t; g$ h, L8 L- g9 c
) h5 _! e5 h5 z4 l1 R4 d) v5 f- G0 I' L" `
/ X6 |2 ]0 \* j

% X' C2 @$ L) n- T" S$ Q4 E7 L) w# z' F4 J0 ]8 ]% S

* U8 T$ q$ D3 M4 n' z保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。 % Z7 q" a. G; F9 e/ r. V
3 k% E+ T$ g! [3 \5 I: |  q
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 1 u8 r; s3 G/ _; K: Y; U; B: t
+ J6 B; N* }+ z

+ Z6 b( _1 s% P  Z& O' R+ Q定理: + f6 S& [2 _& f* c; r" B
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 : }1 D% L, ?9 \, y+ P
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
1 ^' r! u; A3 o" Q% C# R
5 T' V& \; c. Y( e! V/ S: [现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
  g& z% R% ~9 }+ T8 q
8 D$ y) ]) |! V' S' y) H* ~; N首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 , e; A1 N: j: J4 `2 W

: O6 U1 M+ k9 Q% x/ \至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
0 {- B7 C* ?5 J, [7 z: K1 u7 g7 q9 K* O5 K
+ M( b5 _4 p1 s# {5 H  h% s0 b( u

  x, m7 _4 F  i( C8 O: p3 Y
+ j1 u" p" p4 k
" q9 f4 R, `- b& \% d# G$ E, X" t8 \9 E" @) s2 a9 P. N

. d2 I! I* H7 A2 K# j& P9 ~. L% p* I7 t$ Z. H& f0 p4 W+ M, b& x
其中  为所下注之金额。利用
  b# L+ [- [9 C- z7 p+ K5 H7 W* e9 S; a! Y% {8 @1 j) T- Y6 z

4 B6 {* y; h: D
: i7 H5 ~- ?4 [3 ^2 k8 ~/ `9 x% s- U5 ]4 O% c+ E. y7 s8 T$ m" f

- T+ ~% s+ h& z! C; E
2 ^; S! }& N% i3 [! `* F: i; y! R0 q& ]! \1 S

$ N& \) X+ {6 g可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 : S' k- D% {9 h% W2 L- I
$ f: `3 J6 q! L- C$ O
3 F3 ]! v5 w- _2 a4 O( j# y9 T

* p, {, p' z9 y7 N) l
0 F4 E$ T' M3 U1 ~/ x. u% Y  A8 b. [! j
0 `' P0 k8 U: F) m* }8 f' S

% A' {4 [: M  N% H
, U; {8 `7 T' o+ o因此可得在情况二, 时,
6 b" k5 |, J5 L" F- l
  h; r3 O, K/ U$ y( a8 d2 N$ r) r6 ~( [* ~+ j0 f6 `

0 ]; _" _* q: Y. ?2 Z  \: T$ x9 B6 B7 L$ ~! X8 a/ y7 O

1 e7 ?7 o% ~+ s
7 X& W; u* V3 N) n
  g; }& u! l1 q8 D. C5 a5 ]8 r
) I; k/ O, }2 v  v$ z9 E而在情况三, 时, 5 Y& K2 G# W- H3 ?8 T% W0 b* t
( b, A1 v0 X: m
. ]9 H" X& s' p% a, y( K  u# J

1 p* c- N: Y& ^9 P
6 k6 k" H  w+ F6 C7 f' y+ C1 R% }; P2 y# m+ f4 K) v9 s3 b$ l
; Q' b: u, f6 P  V8 V% J

. R, \3 K$ i) }# f1 ?) b
8 O) ^, @, n9 e0 Q0 a但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
% ~* e9 G3 U1 }
4 J4 U2 x- g' H8 F1 }- @8 S! {' ^至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 * v1 t9 v' q  c# o

' O( E0 }% N; e: X2 n附录 2 a4 x  `, u7 v; ?

) s0 r$ D! u  t& A+ W$ S2 M8 t( |' y
6 u5 U  ^1 e' t. E* Y; P在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
' T, j, {* m: y. ]
( z) o7 u; U( A3 K' @9 F. N
8 t9 ~  X4 [: h+ N4 \! b6 C" C) i3 ]" G
! k) w% _- s5 r

& K" ~% f6 i# ^3 Q& {. v1 y* |9 o
* p$ u( `- F0 X9 X
  i' Q7 n1 s* X+ |
8 n# S+ N: }& h$ ?, d. \* R& T另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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