随机赛程的最佳策略

引言
  ]' W6 @9 K+ t+ x" u0 ?) ?2 Y
# n7 o$ n/ T1 ]- ^2 u9 i) K7 W! ?在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
2 r, J- j; k- t! C6 X! \" Y
问题
$ O+ s+ r4 C3 P( N' g
* I  M4 p, t7 k: v6 ]
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
# W1 B: ?/ c; h& v9 d  G
$ M! h& M7 n+ F当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

6 j/ W# r* d7 I' P$ o2 O本文
) y8 @! k1 g8 ^# f7 b" N" D8 u& a3 Z+ g

问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

' w6 O, a4 ]" q7 T为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

& K$ @7 y$ P. G5 H3 {( n
# m# s( J9 N$ W/ Q. Z, q: p方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
( g# x. Q& b: [0 q7 w' s. J% f' q4 w
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

' ]6 Y: K1 Z8 }& C& @& m++,
8 h9 t( Y% |, i" E! Q1 I+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
8 c9 S- t# H0 W1 K! H. q- x                                                                                                。
6 l( g/ \* |" J4 E  S1 }在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


& d, J! J) V* n* B5 v. e" Y% c( M

; k3 n9 I7 f' m& O" N
) x0 i/ K, b3 L2 [, N4 R

$ j& r" G# o- c: Q$ N2 P5 L: P
/ n) b9 n3 S9 k- C

0 l& e( j6 p, |现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
' F4 ^* i  C7 E: _, q' U( e* J
++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
: h! X8 }7 \8 z0 Y6 L, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

! l9 @) o5 a4 U2 ?

9 A; T; L' Q; F# ]% ~8 e, |6 y" T
0 j4 W/ U* D+ {" ~: a' V
$ k# `/ w' z2 T! I' ]

* w( w1 k: m1 M. F- y
( I7 z7 g% Y1 V* J最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
; k( C$ `4 U: J& r# S! X
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
! S( b. s- p% q' }$ T5 c8 b
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

2 S* ~. T( M& Y- z' u现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
: R  Q; `  a! J& L. b. I4 S& p" L0 s' K

  t/ }4 m4 {3 t- c& T$ U% G情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
' V8 Q* @) z; X$ O! Z0 l
情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
5 ~% O- R8 }+ [8 Z) E
% u' K, Z5 W/ M, l5 O现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
2 |  x; i9 K) o$ B; s( v
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
3 F9 @( E% [; T8 c
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
% r$ v5 R  _) }5 L& d2 p1 X

情况一：  
) [1 ^# K6 D# n, ^5 K# V假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

; W( y. b$ W0 x- j- _
% R( M4 n0 I8 d. n: Q+ g
5 ^$ P9 }4 l& ?) J& \
8 W" I3 d* t% Z% h8 W5 u! A, @' y

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
. F: Z# U' x9 c/ {# I6 r
2 J  z# Q3 J8 Y7 \  M& ^情况二：  
, n% \; s! c0 y$ K' o8 m: m令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
3 ^0 v+ \2 [" ]0 |, G4 g: ^

  v0 y  F" @* F5 |- L# c# h
9 ]4 Z4 m: }! H6 m+ i5 B& U/ C


这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
" c- s# S3 l4 u9 F8 K7 [6 u利用p+q=1，上组方程式可改写为
3 E6 r  i9 t( y0 i6 [9 E5 u
, }; Z! G. |1 s, H- t& h' i$ I




两边相加，并利用 、，得

. }" U. r9 d5 l# ?4 w) t



$ ]# h  t4 B- X
5 E1 D: b! i$ Q+ V  q9 r若取前 c 项相加，则得






1 D8 ]2 z5 `  H3 F) t( E+ |情况三：  
+ j" R% r3 @4 v7 ^仿二之解法，可求得

  C2 d" Y! }2 `0 C5 f: c



% }: B4 D  k/ `* E' {

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

9 O/ |2 O" ^: Y$ Q首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
) p  P' _( M/ m9 Z4 d$ f6 D
# M$ f  @( R# W  K
定理：
4 @9 g# j. p3 g+ @设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
. p! c( o7 t; r
$ a7 r; j, G- x# S9 N0 @现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
: y) c7 V3 Y1 U: q& V4 @# R: C
' T& r7 d) {; Z) r& L& a3 V# i至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

0 F$ c! v! c* l( h
% E# L8 B( U+ Z0 ?; o8 {: F
" f% o. h. v1 A1 |" Q
/ G; T. ^# @: j6 F6 ^0 _



其中  为所下注之金额。利用
0 d; |, j  k& {. L9 P


5 j. w( u" B6 x2 `! I8 C, Z" y


3 e) i# E& h0 R
4 `, J7 J( K& c0 a: Z; j; a. U/ Q
可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
; n3 ]) B2 T/ k: e9 ~6 U


, N, T/ f. ?& p# i6 F

! p+ f; E% j+ E+ `


/ o2 X, d+ y! ~' R9 H+ E因此可得在情况二， 时，
- {% f# S4 [! W3 `0 L; i$ Y2 M! A

* }; }9 j3 k# G: f
: Z0 r, z8 o0 }7 Q8 Q

7 a* h% {( d$ e& t. _% `
2 z: ]% j7 o3 s# o4 }* ^2 t

- `/ |& `, U9 n% f- d而在情况三， 时，

3 t, `  W5 x/ {$ x- r) U6 R
, w/ y1 N  O/ y

2 U" h9 E1 e) F
" J/ {+ l$ j9 z- M4 m


' f3 B# s  x5 C2 F" m/ v但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

9 E3 Q' }5 }8 l至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
# N& K% b0 v$ v" ]# Q- w
$ Q2 m: p/ T; D: G" V) V$ \附录
) D  F4 {2 Y" n% Y  t, L7 b

; b; P+ b& Z: T  p( s7 q" v, m在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

" h& J6 R( M, Y8 I0 ^/ w: Z

( v+ m& q, Y# q
* y) q; T# t" @  g$ u) a$ F



另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！