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1#
引言 ' ]8 ~* h8 _( ~; W1 T
) j) l4 ~# T6 a, b0 ?5 O% }, z6 ]4 _
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
! |7 U" M0 F7 {) }( R3 B0 [2 w7 C; D7 g  j2 q1 R( n$ S$ `
问题
4 n0 w/ D( ^" c  g  |3 n  c: X- H0 `
# Y6 N9 Q0 t3 B  e( {+ {+ |
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
0 I9 H! m( o! z: U9 A2 v9 k4 A* o8 }' V. C$ v
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
3 J! [" {1 {: E* B( f; h6 k5 Q" C4 u, k
本文
* q! x& N; r8 ]
0 R: x0 d% n( T( m) d: ?
% L$ u2 F' @) R" G2 o问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
4 C( v/ A3 F( q& Y0 W  k7 r2 k$ q$ U! C2 m' K' t
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 # m" X' J" `3 ?; X/ ]4 r" ~
; U# ^3 E3 i; M$ C, d

6 ?7 _( y$ p7 b: C8 [  W) ~/ L% f' T方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) ! J2 p+ N% F' n
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
. c3 x  J# P7 A" {2 @方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
7 y$ D/ |( X! m( s! X0 U! y* V+ A你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 + C! P6 x- X! V) b. b3 v
' k6 [6 L% o! k7 e" ~7 i& ^1 L4 ~
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 ) n# G+ U6 A% ]$ ~& ^$ [" c2 v
' w/ Q0 P( L& @- A) T8 l" Q
++, / C: t6 l6 t0 [! a$ E
+-++,-+++,
" y1 J+ p$ R' T/ {$ k+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, 9 H2 E- K! r9 p" \$ v9 e( C+ ~
                                                                                                。
+ ~! Q* c, p+ V* d5 s$ C在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
8 E/ u3 s% |/ R! y# P: J5 A
6 }: d& \0 P; A5 _/ n! ~
+ p! S  w4 K+ \+ X8 i& v5 r
, m9 n: g/ \# H+ g
& t" H; t$ {: Z# b3 P; B7 v
' m' T& n7 X5 z/ L. }  ]0 c& R
, D- X* R3 p) S, F* [/ }) w9 B, P4 |5 y) [. A! u3 F

. F% w* H1 D, t- W2 _5 p. G, l( y9 D0 t
/ I! G& D! n+ Z9 X9 V' d# u5 o( \
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 1 D! a: z; I) m
+ P% R! V6 f! R$ P5 z$ p
++,+-+, 3 ^- n( G7 ]; F! m) u
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
3 S7 W5 {% ?( `- H-+-+++,-+-++-+,
0 F/ Y# `7 w/ C$ ^' g' Q7 j                                 1 m& p9 T* Y$ N. b# T3 E
, ,
1 v, }7 Q& q2 L2 e- p+ F                                                                                。
5 q$ p; x$ Y# }, f: {$ P
: N( Z8 d8 \' \7 O) j仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 # {1 M7 |; F9 }7 f" K. k/ k2 n9 l

" F' o% @( K$ O1 r3 F4 \6 X9 w1 w8 k1 i8 I! j

) [& I+ [, u! [5 w$ S: C8 k( E% x9 |; I+ _0 C1 \9 Q  u( Z7 W; ?: C! M

. j( M; M* Z8 w0 |- k9 N% ?
" k) d: {; _9 a3 N% F& Q
' [0 q- @) T1 o2 t5 g2 X% d
9 Q. p; N3 S/ A& c* g! H" N最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
& u1 h+ k0 Z* K, f) m# u7 U, K1 A4 r8 [
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 2 y& L1 q+ @2 v0 a7 ], o3 z

: |" d1 O3 f: a) e3 D这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? % D, G; b$ l$ \3 {" e5 g3 [

. T) s& s6 j1 |& G1 D现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 - {0 Q4 B) X& P) c6 t( L) M  f
9 U, A: t6 Y9 n* [; q. O0 G: B& H% \

; E3 @: Z6 F. k情况一:  . ~% K+ t0 P5 O& M+ i9 C
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 ' P8 }, E2 J: j9 S) Y2 g2 ?
& `- k! D4 q/ [0 p6 w$ w, H
情况二:  
2 e' _4 I, q! _6 @8 V6 F' i% n0 F4 B此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
# a' V0 ~$ S( o4 P4 ^2 ?; j; i+ M4 v; }) x, y6 S5 C5 q
情况三:
1 ~5 x$ b8 X& S此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
) b* {6 A; }0 ^! P! M
5 r! r/ ?6 S: D# t0 j现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
6 H0 c: k9 r) R. i5 K' n9 k& J! F; h7 G) v
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 2 j. u+ O2 k0 k8 m* G! [

! t" S# J7 ]' m8 S, F1 Y. d如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
% ^% g) Z& P0 Z! e) u5 k
4 y, G5 p  l) N; t; ?. R* x5 ~/ _( ~3 m/ l  {: t
情况一:  ; F+ r4 t* q. t0 O! A- w
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 / ]/ e1 s. A) D, P' c

" h. E- V/ ^( Z- \2 z; y& H4 C3 ?" e
2 d8 u1 _' p) K# |# ?2 Z  v

& |% T' ^, \$ i7 a& M4 H' S
1 n8 M. f0 @! Y) f$ h: ]$ I
1 L. e8 N) _; l9 T8 `+ C2 u这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
+ K6 ?$ q) H1 Q! ^& r2 M. M; }: l4 z. y" z
情况二:  
$ D4 u, |9 v2 {9 U1 O& Y: B$ N" F& f令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 ! |) w8 V( N6 R3 W/ F

" h! u) B7 @1 z+ m# K
1 q- V  F: i2 E+ }: c- }8 g$ c1 j9 y1 t/ T' T

- F# s, I1 j, A* h2 D+ W5 n1 s5 N
+ X8 k6 A4 s5 f6 [: N! u( R5 a1 T8 `* r1 d" L" v5 t( C  @
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
3 m4 i# L3 y$ P7 a利用p+q=1,上组方程式可改写为 4 F% l% h9 K, N* [7 K8 x$ T
1 @9 L( m  H: j. X9 i
7 {' d& M  T8 Y) n

# L; E7 O3 E2 Q) L7 H! o0 ^, n& \
  t" `/ y. H8 u: \! }5 @& w
$ u& n/ }) F# u  t
+ O/ U  |, C5 [# o: o, ?两边相加,并利用 、,得 % B6 d& h; {- p6 M: f- L0 m7 X+ [  `

# c) N2 q" V" X
8 l/ d2 g+ O/ w0 h7 i6 I; ]
4 D9 Z7 o1 b4 p# j: y( H0 S) X+ ]% C) i  G

2 t' X2 j7 z5 m+ Y! e1 L+ l- H
9 ^+ j; b6 j; |0 ?, \6 \( {若取前 c 项相加,则得 & z4 Z5 N% A; b2 ~% j9 F( f

' z: U0 ^* U4 D/ f2 ?& I* c" p- n' G6 K, @' H) a/ O
# h2 z8 H- G% j  l! h4 E; N

' |: q( ~. n  b  i* d  q9 u; ]7 v9 {" k
) h7 J  n' X1 Q5 e/ b9 t
情况三:  
+ ]8 K+ H( e8 q* O" E仿二之解法,可求得 . [1 M0 s: L; w, ]" W5 V4 g
; |, z9 n  @- t7 B( o6 P
% ~3 N* r: q9 H3 ?& F, y

! G% u% E/ A0 i0 H+ Z$ g. b
# p( y$ _" r9 W1 s; }
0 @* w5 U( t! k  ]0 S; u$ p( h- r9 p
! w# r! t- f3 {: @" ^' }* d, N
, f% l0 r% E, H5 K保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。 ( {- `- N. b  G0 v

8 z% ~/ S1 |2 ]首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 , r+ v% i$ T* M2 |
# x+ g& y9 Q& X$ D, P& g
. _( g6 {+ N- B% f! A
定理:
6 A% t6 D/ X3 G' t) G设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 + g2 Y& M: S; p& x8 z
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。 ) {! X2 R: K" E& R
$ ^9 y% R5 K% x& j
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 ( F* `( J5 m/ j+ e

( k- r. k' ^* \  w' ]首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
8 ]+ q7 P# p3 C; e. C' C/ d# z/ d! k; q8 f7 T
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则 6 _# v& x: L5 p! ?( d: o0 X

& h3 N5 Y3 H5 j
  E+ z3 F& s2 z
, j: d  t  s8 a) ~8 D9 s
+ \' f5 q0 T& C% f
2 t' K8 r4 Y" Z% k; c9 x' u) l: Y( P! u; f( S5 o

; _3 f' u6 I6 F+ U, O, v4 {1 n; M9 D$ E) ~
其中  为所下注之金额。利用
4 T& `* ^$ R3 E) t2 M& X
4 ~, R/ Z; U4 ]  U1 }/ [
. [9 u* V* _1 k$ Y5 Z: Z' A+ j% g6 N, [% l2 P# x

, c2 n0 w1 S4 N5 b" ]9 y" N! A$ k

/ e0 s! R' c) c! v8 [9 \
% h$ }% @9 l0 Q
# \5 m; r9 ~5 x1 T/ k6 s可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 1 Q. v- k& ^7 A! r! ~! b
; n% s7 b( r/ n( u% ^

0 Q. D9 {- d$ t3 \# A3 {# P* J. m( J5 U" U
) a/ S5 J. b5 ^2 W. i( [

. G! W+ W7 h" ]% N! F% K- p4 o$ |+ a) ^+ J
# R( R8 n- r3 o' @. I$ d* Q

% Z7 W2 j( i* J, h5 ~因此可得在情况二, 时,
0 W8 z1 e" C$ S" ?$ B: d" J( J  i5 h
" P( P3 g- w4 l& Z) h7 ]
  a  y( Y9 J6 |/ u1 V$ T" [2 O, _+ i7 Q2 {( T' X

1 R6 T( q. |* {' y! D  |
% ^% G9 i* x3 u$ z* S7 r% F
8 z) v# y: S2 Z  Z, H0 d8 ^. g& V
+ u$ S) q; n8 g& z8 t0 B4 Q
而在情况三, 时, * {  x2 Q( {9 n1 L, _* s6 v  K
3 t; O$ u3 T9 i2 o  l
- e! w4 m0 [4 S% C' Z
% s1 u- w) y5 T3 h, h) @/ C
1 k7 d, U/ e4 w7 v' ?  M- {
) M9 y% c$ K! I0 a' Z% `, l% H

3 t" C. l2 [+ i# M0 D8 j/ I; i2 |* g4 u% `
. V+ R# p8 K! Z5 z) ?0 q! r' J& Q
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
" c8 s5 o% t. J0 l7 U" N+ ]; c% I( J3 z. O4 o4 p. _
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 # l$ z: o" d  L/ {

* a: z2 ~& v# E附录
, a1 p  j- p) M5 E& d/ ^: c3 U4 U) X. J
9 I+ K. j( {' H/ y) `( a5 s8 s& p! C) A1 X. X% L
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 & \: r; f% v7 n: P) d

/ L7 n2 \. p- x4 p
  Y/ v$ G  q, E0 v. K( V  N1 [' P! s( ?4 }/ P7 z8 G% s
* U9 ?- l  C# h" V" o
) i  @& S  V' c! Y7 a

4 @4 g  \) t7 R# Y0 O" d+ K
0 N! }/ R# F8 P9 N7 p, c9 w# r9 ^: Z/ N* n/ n
另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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