随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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% ?" Y5 [4 i! ^2 h4 ]* J2 i6 x问题


. h+ e( |$ k; h  w3 w$ l有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

, L; P! y4 E5 V7 @; i6 H; Z7 ~6 `# w当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
5 I6 C! h- V: o1 p: `
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. l* r3 k/ x1 Y" V9 {4 t问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

$ c0 H1 C! Y( x! t: F, ?' p为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

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: t- |2 ^9 R( Z" Y! V3 U, `方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
$ u- i7 f* U( c+ y6 _方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
; R& G* E1 X& S! k# B" o: p& Y6 {9 |你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
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首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
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++,
+-++,-+++,
6 r) z/ Q9 w9 x! P. n. Y, [% P# v+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
3 Z% N, |1 _3 G2 A: f/ I' D                                                                                                。
1 R9 k. `2 D8 |, h在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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8 l9 Y( i) j! i* ?' w$ |  a# N现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

; R1 n4 x2 @0 [5 h" x& I++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
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, ,
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$ p# y, V* Q& m) r6 v' G- l仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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) r3 S9 `3 i" @, Y


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" X( z' f0 N6 ?最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
4 O+ o, f) H' l% y
+ T) Y, c' v' Y3 ]. i: {+ g现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
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4 e5 ?- J# U. V2 o" h这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

7 [! h) J6 @, H2 s% @现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

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情况一：  
  o9 l  T) d; V" ]此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
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" I- s$ R& G5 c! c7 [0 o3 `. ^5 Y情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
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- |2 R% r2 y+ V2 g6 V( X情况三：
. C5 A. ^/ @9 e! o' H2 p此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
6 f& I( T3 o, @% x
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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8 U! k5 ^: G$ ~5 m8 E) D" ^1 u# l; `由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
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& }3 G+ V; C% H( }如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
( W) A% {+ P3 L* S9 ]

情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
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# P' ~/ @+ l1 a1 s2 b
2 V' g2 K5 m  \3 }- B
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

# e! \( H" X$ @) g# ^5 V+ k
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' h4 i2 R( O  Q
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% a/ E" n, B, F6 a
- m: C* f+ e& W3 D- r这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
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9 D, H& i# w" o! G. k

+ h- b- H# S& `; T8 e% M
& K& ?/ }5 [' i4 F7 S6 I
两边相加，并利用 、，得

1 E3 ^6 e) u4 b


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. c1 O% j5 N  B5 `若取前 c 项相加，则得


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' P# B. M. Z' d8 z( |, R
% p: {$ E+ M3 U9 }  }: j% r

情况三：  
0 {/ ~# Z2 X* J! U4 |# h仿二之解法，可求得


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9 c4 C- b8 i& E' r1 P4 m


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保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
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首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

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定理：
3 _' M- ]# t! I6 p设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
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现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
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首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
. p  A4 j) b+ R5 H
* }0 R& n1 c( h" g4 `# }& k至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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8 x' }: W2 }: {其中  为所下注之金额。利用
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" V: A3 m# K) Q, B; y: D5 `( I. W  g可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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5 U( m9 c5 t, w/ I8 i  a4 V- }8 D因此可得在情况二， 时，


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而在情况三， 时，
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但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

& w) H- s# P$ \5 Z' P至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录
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5 L% c# z: ~5 s5 i6 r在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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% O/ S! C5 R. ^" _+ t另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！