随机赛程的最佳策略

引言
; B) v9 m9 E2 T3 I. b  o' G+ f0 w9 a
, T$ A  e* q3 V, l在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题


( h8 ~! p4 ]8 O6 |. [9 m有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

3 E+ R0 R/ R7 z# Y& f: S  m当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
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8 \, s2 \4 u  r问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

  C( ?/ p0 }% n为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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7 @# x* G: v  k+ j方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
) W, u  n$ a  v0 B( G6 V% `方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
3 v0 V) Q; S8 [你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
0 ]4 `5 a, z2 k
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
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9 i3 I" X! u$ i; t$ ~" G9 w++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
) ?3 v! Y6 H( X9 f在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


0 v3 ]3 ~8 q( A5 m5 O  ?0 k) i




8 R5 N; b  x1 @" R; J' P; f
# y; h3 [# h' [6 H

现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
& O, c' }! K4 e! J- i
9 E' O+ W7 S# s  B/ O1 d++,+-+,
7 I4 o- @" u7 @2 E: \9 {& s; `# j-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
- C7 p9 }2 Y6 v7 C2 B! e                                 
( |3 h! s0 q# ^0 s- A, ,
- F5 f# D* q# g% q& U                                                                                。
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9 N8 {' u2 y) Z+ m7 \- B2 }仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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( J! Q" V4 E, S4 G: u+ B; z3 C
1 m/ ^, M- Q: H( ~6 w8 F/ v

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$ \! S7 L7 @! q( _* G. @, a" G* f

- t. n5 l1 S' h4 l9 K
1 @8 x% K  X, |+ k最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
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7 C* u3 N7 a# v5 t: L现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
( a: _' ~2 u! W7 T9 K& G
6 V9 k6 E0 o  [( |5 Y现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
2 A2 v" Z" W& s3 B

情况一：  
2 K$ W$ p$ `7 J+ D此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
; m- ^/ U8 A* r" I2 R! _此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
, M% w% C& @; a+ y此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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5 C( z5 m/ q9 ~3 z$ [由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
9 }% V% h) a$ P9 q! w, j) g1 m  N% M
( }7 M! I" t2 N  N8 q  c  k如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
. b' v' k. h/ a8 O" B

% L: b( p" p  y. U1 [: C情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

2 ~7 G7 o! h' k+ a) b9 ~
0 Y9 f2 l6 F2 @! ?/ L3 P8 D% J' R

! t" u6 X% d2 p7 H! d. s
; G5 ~: \# R2 ~; k- }) n6 U
- R- `( T! t, I! Y这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
- K  z9 }! U# \  i4 |
情况二：  
5 q+ F: w8 X' R) S1 a* b' X( R' w令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式



) ~! q* ~2 q& X5 B
6 i( b' r4 p& L2 N  Q& n
- f9 |9 ?& t. X, u: O1 P
$ F/ [+ y7 v$ @' d4 |' y这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
) }' ]! z, Y* _7 P! N. m# F利用p+q=1，上组方程式可改写为




- ~  f$ ^: d& w" X' w

两边相加，并利用 、，得
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  b% m: V2 s0 O6 r

* F) C: U& q# ^
' D1 k2 f- c" s' Z2 F5 g

若取前 c 项相加，则得



' N& d7 b; v, ~# V

* V0 O! S/ v' n1 C4 U$ r7 Q
6 e( I' {% f0 A) l: p+ @. D$ }情况三：  
仿二之解法，可求得


7 \7 M* L, n4 h8 m: A

( ]5 S6 V! x9 H9 @
* J" R, H3 R- x

8 V: ]: _) H+ }1 ~2 k* o- B保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

' B- W3 v8 f: J- T3 G* F7 u- P首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
! }9 L* o' ~4 ~9 a* U; P* {  v# b) Y
1 f8 L+ l* r, r
' V4 Z: a& _' @" B, T/ ~7 [定理：
- Q5 n6 a& R* S3 s& A; i设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
9 P3 @2 V7 V- x, w- Z+ z此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

! T2 s- }1 I9 f8 M% k# }首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
  S- b- m) p% t; N. n
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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0 B4 e* X$ h6 `& f" V& M
7 b- _# |! g6 X
( Q$ _9 ?# v& T0 z. m& H
: L- V* W! j* S; E
, G" V6 f8 k, n

其中  为所下注之金额。利用

7 E! T/ `* J+ @, x. }


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. v2 `. N8 F, }* Z* t! W5 w可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


9 r! K. e2 L5 r, n7 V; ~4 o

  n" O  R$ N. k" u7 i: p3 N



因此可得在情况二， 时，
+ E9 B* B9 y" z* O! L9 G8 n

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' b% G: w+ W6 b  K6 T* b8 b
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3 M; X; M3 q4 q# j$ E3 |- E
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而在情况三， 时，
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0 W9 Z9 W* ~& x  d$ C8 r0 o& r





0 O. o) a8 J" q9 e" O, d6 }2 ]& T9 Q
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

. {$ B, ^: y' N: b$ S% d至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录
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在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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6 ]) h0 ~+ C) @! R. `- `
2 b. i, `# O' P. M
, q6 R4 a9 j3 D) [+ H: x+ G
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！