随机赛程的最佳策略

引言
8 v! U9 X. S3 P5 B7 I+ }4 K
. C/ a. ]8 h4 ]- B0 T3 ?在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

8 _1 H! X8 ], x8 {# \问题

: P0 f& X0 }8 }% R8 H/ D$ T" ^
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
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当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
, E. E2 d4 Z' g
, M. G2 `3 Q' Q" t' V3 G6 n
问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


" b& ~7 k. q6 L方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
2 s" |1 Y, @- ^  Q; U5 ]  T方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
9 D! `+ S* w+ C方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
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首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

7 f! \& N  U- }3 b+ V/ _9 j++,
" Q3 [/ g% z0 d+-++,-+++,
* }: [/ m$ e0 }1 k; Z+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
6 d# a! r( D1 o  M                                                                                                。
5 l3 }: z; Y9 n+ \. e7 T( y: `( w6 m在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
0 l$ e5 R) t  i8 s7 z

' T7 M7 \/ z- T' u

8 r" _6 g" l% J! ]" s3 O, c



0 e+ z! T- k; G( S7 |, l! F' P

现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
+ k9 I, x5 C$ c, o1 y3 i, |6 J
  C+ f8 p6 ?5 @! B++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
( o9 C0 K5 I# R1 b" Y-+-+++,-+-++-+,
+ d" U* e: ]4 U) W                                 
3 g$ ^* `: M) E( K3 J: j0 U2 q, ,
                                                                                。
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仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
4 v3 v$ c4 i! i- M* s' W



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3 \, V: y$ w0 o3 C8 r$ z

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
  j; a) ~0 |! v. o& ^
$ G3 c' X* q7 c2 Q现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
) q* S% t9 z( e& P
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

# g0 a9 T1 v- @2 @% }( W$ h现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
' C$ T3 P- ~8 h# M  r1 r
# i! T  t2 c2 z4 m. M
* G7 K7 M! b* Z4 {8 e" c5 l情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
& J6 b  ?) B  ^; W& n% G此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
% Q; f& w( \3 k9 L8 [8 ^
" M6 P+ |: i' e& X7 C. N情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

: i+ {5 b% x& H, ^现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
( Z) q+ E) `7 e  N6 m
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

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% X% Z( p* |' ^2 p- i# N; D4 b情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
) T, A0 R4 b/ t; i5 y& w3 N
& |6 K; U$ \1 [+ q

- k* \! Q1 |  Q! L1 b

  ]9 m! a, i/ F/ L( L; y! I
0 u6 K  u/ W4 T这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

7 t, M& d* ^( w6 u) ~  J; }情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式






这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
/ n/ e- S9 J" }利用p+q=1，上组方程式可改写为
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+ C- y1 k4 r& C8 [6 k7 L8 X
, s2 `9 q1 z8 e1 W# x+ d

" E3 U, a+ n! `4 ^; M
, S  C( A% O) `
两边相加，并利用 、，得

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8 A/ Q- h9 Q& j2 b9 B3 q* ~
& x  T0 g6 ?% Q4 A
2 I( `  x5 D) f* u
若取前 c 项相加，则得
% j5 N- U' p  [  B( W% A
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% `& p7 D6 ~2 t8 k7 r0 r- ]
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2 Y, p$ ^7 v+ F& Q4 q- `* j
情况三：  
! B8 X1 D, y8 d; ^3 v* x$ \4 k2 b! @, p仿二之解法，可求得



" Y7 z2 B, @' A1 a5 N
  g7 n2 R1 D* E+ n. F5 a0 j0 }" N" U
+ z. S& `0 ]' G3 g
( ]5 s# l1 r0 h" C( P4 |
% r* x; E: |) K4 e保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
5 ^. j, A" G# [; }此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
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现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
! C4 m1 p9 f' x0 t3 y" ?8 D; H
: v: E, X; P$ W! z; Q8 v3 L首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
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至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

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5 h, o. `) i+ d. P- m: p! f9 J
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, Z* L7 c/ x  p' c' ]& i其中  为所下注之金额。利用
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2 U) U) a  E6 U+ J) @可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


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8 M  |6 H1 O) q& u5 K



因此可得在情况二， 时，


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$ v" |+ o, ^* P, m; Q" H. M4 ^6 V' q" ^
6 M* h5 H& i% }+ Y+ }4 m而在情况三， 时，

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! b7 j+ h! j1 K4 r
) U) F, y/ G- r/ U
, M9 t  B/ g% }


( ~* b6 D  ?/ e' g+ a, K
/ b) |/ K+ p9 V0 a+ B- Y  p但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
* k: d# b; M, Z; f4 @# e
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

" p9 j, ^; |: Q$ E. G$ e附录
, h7 X- ^; t& R# o6 y) l! [  g. I
& F* t; @4 {( E' i$ L
0 y( ?/ k9 l+ s& l% M' [在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为





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另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！