随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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问题
8 g  F# d- b# M) S0 h7 B2 D+ S

# O' P$ s7 U( |; _) b1 r有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
8 w0 s# z0 ~3 F# b, w
/ T% i+ z5 h. J  V1 {- J当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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本文
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' Q3 X/ r( \' X8 ~* A" w
问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


" f. Q2 @; t# \" a- p6 L5 w方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
& [$ k: ~1 L5 X' \$ n方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
) O5 v  v8 i0 n* c7 W( S. s$ c
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

5 a/ e, a/ i  Q# I0 h; s++,
+-++,-+++,
& l$ f$ }3 K! N' k7 J+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
' v, D8 y/ [/ g1 }6 i$ _+ C在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

9 I- S2 n- g& X- m$ d/ S6 Z2 N
$ }. Z3 e# L- C  v, C

+ f! b& B! C* P$ o6 g2 ~2 v

0 k) \( J/ ~$ k+ _. f, q

- u4 ~6 B; e/ ^! v$ ~  R5 @
- C7 J& H: ?. M1 Q6 H% y& H; u, V3 }7 ?
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
# S! a" [7 f$ ]2 `! t- k
8 j4 G5 }  Q; I++,+-+,
* m6 r2 f( Q) F/ z( \1 D( ]' }-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
0 S9 P4 U! |+ M-+-+++,-+-++-+,
7 B# r" F( L/ z8 f% M( P: Q* L: r) R                                 
, ,
* U; i: A& t7 Y5 B/ |- Y                                                                                。
0 N' K) g9 b5 U" Y
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
  ?2 F  ~. S, R% D
) i3 x% o2 m: u. |4 g8 p


+ e, G1 {; v  r2 m+ K% M3 G


: N3 ]5 e1 W9 N
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

& |/ a$ D+ E( a, q现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

7 Y4 w. @/ |! n现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
! Q; u0 Q3 k& R9 Z; Z  p  y
' i" L* N) o" t2 t  ]0 P) p* t
! E2 [" S8 D9 V4 c: j  d* Y情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
3 P7 |9 Z6 z$ r1 l2 h' W4 l: I
情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
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如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
& U' J$ u  M8 q) P
) r% w. z. K1 r2 Y7 y6 ?
1 y, `0 z/ q) E9 z' w9 Z" A情况一：  
3 y! v8 Q) W: Q6 U( `& }假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
# u) W+ |# z, _& V+ ^2 j% |
" k9 }5 ?6 f% C- ~2 l



3 n" M: @: T) r( i# S+ t: ?
, u$ b3 U; e0 M) e& k. D% A这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

5 v7 B1 ?8 V: l" S/ q% N1 \情况二：  
3 f& [: Q0 H; J' s2 U令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式



: R2 P5 h' e! k; L) ]; V# o- F+ S
" p& {+ M- Y- f6 ]& N
: C0 p4 x7 Z6 k5 m8 ~* D) g- P5 W; x3 W
" `4 I. S) _& Z) }1 N4 h8 }这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
3 l) D% w' X) s* h1 Y. f3 m" l0 S( y利用p+q=1，上组方程式可改写为


8 K# `( D3 n7 C) P2 f
9 _# q3 y- D5 ^) y+ D8 ?. k! c


9 P9 L9 y  k$ T, w9 B; p两边相加，并利用 、，得

; C. I- x5 a: {$ G" P( H; j

. ^' C+ E; \) g. ~, M

( Z6 C# c% {1 x1 q( N* n8 y
5 T' o& m! t) [) J1 i若取前 c 项相加，则得
% x: ?9 v  N* y6 [; N9 \# X6 O" g
* K1 q6 w) ~0 F5 M; I) o5 Y

; o- {4 Y' L' f
( G" T; }6 t% P. K6 u$ F, h
- ~$ k  l, ^/ }) ?
情况三：  
仿二之解法，可求得

! ]0 o8 r$ J' h5 e1 m6 x4 l& Q
: X+ L4 A1 A+ P* _9 v. o
0 w: Z1 F/ K) E" x0 R. q  @/ \


2 t% e2 g6 t3 P  x, e# O
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
) ^7 O; c6 e! B
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


: Y$ K3 E5 _2 y) r; w定理：
& h! I, c' z- _# F- ^& F设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
' W1 t% T- X9 h! ^5 p, y5 k( F' b% k
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

  U1 W. {& e" \7 O9 v1 I5 N首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
( [% K; V3 S7 L" G7 K6 Y
8 f, R' }8 x* ]8 A: Y: v3 a
9 X, `& C; u9 e/ K0 }* H% W. V





其中  为所下注之金额。利用

1 i+ q# m" L# ~' B: \


8 h  j5 y5 I( _7 }

, H+ f6 y+ K+ [! J: x6 d4 [3 i& S

可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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: p! \3 C% n+ W, A+ y) z2 e+ t
因此可得在情况二， 时，

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. _% A) Z" a- J0 e
; w2 ]: M& i4 E- u7 ?


/ g$ ~0 L9 T/ P+ s2 c
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而在情况三， 时，



0 F+ k* {0 I( x& b* I' f/ t

' w+ |1 q& L) V& |8 j! t6 i
% Q3 z: Q- ^( I, u: t, ?
7 N$ v7 u- z  F! l6 a
9 @6 R: f% X- `! z但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

& B$ _+ _1 |6 O8 A4 h+ I! J至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
( l* F5 g3 q- M4 X. O; `- ?, Q
6 [/ g9 z( N7 d5 b" e$ O/ P4 ?附录

* x# m& c% ^7 ^& V2 E8 G( u8 @
* k/ i) |2 k6 H5 l% K$ N) X9 f在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


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2 x! m& P* ]' i. N
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. K/ @: K$ k( z; T% l8 m6 L: K% N另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！