随机赛程的最佳策略

引言
- W( Q6 |& \+ p5 M
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
$ b3 j$ ~! _8 ?* M" f. Q% F
% m. O3 P$ m+ J( j- Z) u9 w. T
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
6 D* W/ T; t7 M' }  M1 s7 h  g% k
% d9 n1 @6 K8 Z当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
5 L% L9 m  p. X0 \4 W2 Y$ A9 z
  q& E- W$ a9 Q9 F本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

1 k  g5 Q2 ?) Z: Q$ a为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
# u4 m9 Y# n1 |3 O% W% S

方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
6 w; j% q) X- M, T0 V  _4 G方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
0 K& w% b8 Z) X' ^你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

$ d5 h8 m! U) E, J首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
( m8 r1 m8 l1 m
++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
3 ^. d  _. y1 m. O



8 l' A5 U7 l) W# J# G& a



( P* ]" ~% E' ?; j$ C) {
) O3 y* h; _  e7 X3 {8 y/ ~' S, m6 ~
1 I" M2 |6 l8 u, X5 ]3 ~现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
2 v# B0 _% n. g. W3 ~+ z7 y-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
# B! D. C$ o* G  ~% q; S, J-+-+++,-+-++-+,
& u$ i5 ]" P4 [* r                                 
8 Y" g' y9 P, R. o/ ~, ,
' j  z3 m1 M" ]1 q# q& ^                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

0 J4 m$ I2 D, b7 }8 u8 P7 j' y, V8 |7 a
% Z  Y* X+ v. ~) N: q



' b8 Q7 N  q  W( u4 o0 Z1 C& o5 c

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

; _8 j& E* ~$ r6 W* [- X: l现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
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这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

$ ]( R" }$ ?6 i8 [" }4 O
情况一：  
+ O5 T& ?, x/ k% \% X( u/ x% U此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
4 C9 P, D  S5 `( G
' |1 Y% z& b" z情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
9 l7 s+ p& M! j9 w& j; w+ [
4 M3 C7 Y, }  W$ Y情况三：
* @1 x) Q- ]* d$ v% ]% N1 R; j此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

/ u) D% P* Y6 a0 t现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
8 s# I5 e! F* E  p4 d0 V- S
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

3 v: @4 u6 s( V. h
) e* j2 e7 A- ]) a3 ]6 H情况一：  
" e, a! d3 F2 p! M假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
6 F' _6 J  J/ n( C$ |' ]5 o; n


7 C+ O1 z8 n& V! G

, x: h+ k/ z7 t7 t
3 q7 ^/ \) P( Q# t( z  j( c这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
* D7 g  J' V8 \& I2 O, I
! n4 x6 F/ ^  G  d' w* W情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
1 I* @) ^! `2 o% p: S
1 X! e/ ~9 A! L$ g/ a8 [3 l5 F% L

2 e4 }5 V2 _9 o& Q
" j. a3 l/ m& u4 w: s

这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
4 z: ^) q. n% a4 [, `3 F- o: o0 W


; [# }& z2 \' g  Q. |# k0 [
% J# B* J& ^: N. y
+ \/ m( p0 b  [9 {1 m' C4 k3 M
* [$ j: g  b! Z( x: B. l, J8 O两边相加，并利用 、，得

* v9 s5 H2 H% z% i: O



4 d( E! s. v+ w0 \: ~" b" m  L
/ f9 t" T5 Z" x' c# H  o若取前 c 项相加，则得



& c8 B- {$ g: M; G0 }


5 K. f1 s1 Y6 N+ t情况三：  
仿二之解法，可求得



3 p, r# v, y, g. @) B9 i
. c9 }4 k6 F% o2 y' g. o! `

1 C$ z6 c1 j# t! a% ~* i
9 Y9 ?) N7 P6 e7 w! u保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

5 Q4 [4 j: R* y" k9 h6 G首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
5 p4 R6 I5 J7 @7 e1 p6 b9 r4 T

$ {) H4 I; U7 F4 `5 H0 _定理：
) V. {0 H  s9 |. M0 D1 t设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
- _$ F0 Y* u+ d  y3 T此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

8 m% G3 O3 X3 A9 P( S7 F现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
, Y# L8 H0 J) K4 w
! o1 Z. B0 p/ q* B0 ^( T首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

  H6 p/ `& H0 y% M: D4 \* b至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则


) }0 l7 Q& A9 V7 L* w" i, S

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) {! K0 ]2 L/ P5 d
% o" f. c* K1 d2 E  a1 z4 T
  r  _: g; q1 y其中  为所下注之金额。利用
" \) @( y0 ^3 p2 M
; C& S& l* T- N


6 H2 C8 i$ J5 p3 B* x- q6 X
6 T1 |8 l- Q) H7 Y" y


$ }2 ]7 A/ _# A4 i可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


; c/ R: e( S; e1 [3 e8 e' m1 w8 T
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2 G' u4 {  r# @! T( D4 H
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2 x, X7 s# O8 ]6 @7 l# e. u因此可得在情况二， 时，


- k% I  _6 A1 V* F- u9 y

# m8 q& n9 ^$ M* q2 [. o



9 o* P3 |: P1 |, x0 ?# O3 v而在情况三， 时，

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/ w! _" K1 C9 ~& d, Y! Z

9 w" |) u5 x/ c& j( H% R) D6 |

) o0 k7 T0 C% A. ?
# u" D$ d% A  ^5 m但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

5 ]" ^8 \' P: K至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
! p- c) F3 Z+ n! Q# ^2 Z3 q# F
" X1 D! x) o$ T! J附录
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/ }0 C+ d( a% F在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


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0 e! E& w& M/ ]' A; }2 w+ g1 Q% v8 |8 x+ q
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9 g' V; f5 w9 ~; v


另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。