随机赛程的最佳策略

引言

4 u/ u* n8 D0 P在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
- q/ k0 D6 g' C9 L, C
/ g4 K+ ]; {  @4 h问题
% b3 o) i) N. i# |9 G
4 _9 F! N* c( ^5 N' M
# i( b3 k$ m* Q1 G* B有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
2 M# o* H+ Y4 H9 g% n; P  H# }
, `1 F9 `# r5 U7 w2 j. E当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
4 x4 _+ ]" C( q6 t8 E

) q0 j7 ^8 y& Y9 C% M问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

8 @& T8 C' [' z* D2 G" I为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
4 T% ]5 ~" G/ o$ `- V' V- B' r$ v, j: H8 J
- g' p% X# y, \) ^1 i
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
( m& @( E! P9 l4 F% p  ^: c* m3 R
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
! e/ l4 y* o! p
++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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( n. E1 _5 H" W1 l8 ?



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现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
" Z* }; k% M7 N+ y1 f  C+ C( U-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
4 Y, q6 d' j2 o) T1 k: t2 h# k3 o                                 
, ,
  H2 p! n; A+ I% H- m5 v2 y! t                                                                                。
( F. t8 |$ z/ O
1 T/ R; ^3 a) v( k* Q仿上之计算，可得此时甲赢的机率为



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/ T: F$ w! d2 U8 r: A

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
! G8 Q9 a3 t& m/ D2 _. l# }; [
: x  p5 H. j( H, i, @, {; d这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
- i. i" u: U6 Z4 D
; ^$ @: [6 X+ Q$ }现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
5 |6 h) [% b9 `; b  x( o  a

; b  N/ I; }: @# r; p& x情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

% F- N# P" g3 W" L" i+ i9 l: v# B" b情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
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情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
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现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
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/ o$ e# l$ y. B
情况一：  
) O9 u5 k& U8 Z' t/ h2 i5 }假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

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8 s8 x0 A5 R4 i7 }$ J+ g
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6 H8 y. R/ L8 @" |$ ^( F9 \
) g1 l* x% o+ A% [7 d! g/ s
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
) c& u4 Q% K4 X. v
6 `, q; e# ?8 T  x0 m  n情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式



: `# p7 K. \% T0 D1 j

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这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
! O4 T9 z8 d" c9 n/ x+ _& L利用p+q=1，上组方程式可改写为

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  J) I* W, L) }, L
9 w0 e+ ]( j9 p两边相加，并利用 、，得




+ q( Z' Z+ T. o6 c+ g* z
( e: L5 @& f+ Z: U
若取前 c 项相加，则得

# \6 X7 _% j7 Z$ t7 I; E6 M




情况三：  
/ ?8 D5 |+ M$ }, [' _仿二之解法，可求得



! m$ S+ ]2 P- f5 O/ S8 y
6 e* t' P2 H3 U7 L+ Q


- ?- U5 l& @2 A3 x. s/ O保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
; ]: ~, O) j; T9 D1 u  j/ Z+ S- @

+ V- {5 U) z# H( P$ J定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
9 |6 t2 Q' p6 Z+ B* _; c此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
* \5 g1 ^) p. O6 w. T" f! J- v7 z
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
, J! h2 Z4 [0 N2 {. U% c# G
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
% l, m. g  D- o. G


) T9 f  Y$ K: l3 H

( M5 S9 E! {5 d& T# e
! y- Y, ^- u% l0 J! Y/ |

% J- K% r: z) A+ g其中  为所下注之金额。利用

, X+ q+ J' Z. P+ z






可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


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3 E$ f0 P- A8 y  |( w4 M0 Z9 i$ Q+ H

因此可得在情况二， 时，

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1 D' q2 q; m. G+ i& o, j/ m( A% q

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7 @$ {& G1 x5 B! i4 `* p. z而在情况三， 时，


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1 e; _# ~( O( p, V, y但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
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  g5 }) K9 C7 J: l; K0 f至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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0 C" d, i* V4 e0 ^$ E附录
! |* R0 F2 D, Z; f1 J
2 {4 l, s+ w- \. w6 v5 R& A
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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9 M( q2 A4 K. f, E+ a. k
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; P" h2 M! b. T5 R

另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。