随机赛程的最佳策略

引言

) z9 v! \: y" o在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

# i4 d/ Y: H' _2 I1 x6 F. I问题


有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
3 s+ Z" w% E( |3 O  D5 X* b
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
' @6 \9 g* j* l/ i
' X3 p$ ?% B$ [) ]' F( `, O
问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

: Z% {5 q4 I6 r' t( Z# y) W# O; R为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
0 K2 X7 o* H/ l方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
: Q: m- J5 r! ], W
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
4 q& W6 F: L) Y% Y2 d7 T
7 I' M! U2 D9 P5 m6 e4 g++,
+-++,-+++,
0 G) f" y- }- ~% ]) `% u' b! p+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
' _8 f; s( V. D: U                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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( `- s" b$ i0 _" w* ]9 k

4 Z- D" ?: @/ |6 `4 y
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
' q% J1 ^  p. T! r9 [& z8 z
++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
8 W- F5 \8 O9 x2 E& Z" _, ,
% H& c/ E3 d) a! M, S2 |1 }7 D4 |                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

# k5 c$ X3 D% f( T2 k

( j$ l. B3 X3 }* ~" X' `0 k8 F
, f; m1 V) @. k) J; {

- C; x+ y9 ^  Z
! m8 {: z$ E$ k1 m$ |! B
# T- m4 }! I" k3 m最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
7 ?: Z2 G1 ~' c7 U* Z/ N; V2 g
$ S3 J8 j9 o0 C! p$ m" E现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
6 w  w+ q' i" `) a
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

7 z4 `1 }9 l" Y# E# p
4 r& F4 b" e! i$ Q' w% N7 z4 d& B情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

0 W2 z& Z0 B  c2 P情况二：  
5 o4 G% d2 p( F( u5 a2 [此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
' O- V, d4 J5 [( ?
; ~$ K7 W( l- G1 Y5 S情况三：
! D7 j0 ~$ P) ~+ n3 w此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
  D/ B" F% Y3 a4 I) X
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
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9 t7 E4 t! \* h& d) l  Q如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
( f7 x' [7 T8 f4 w4 S6 p

情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
: H. i2 p- I0 b. U% O0 |

( {" j# `% Q: O/ G4 [# o& z

* B- p6 r7 J' R* _! d

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

5 V; r+ U0 l& y, n5 [: l情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

( w: p5 N: q# [& y% k

6 L( V7 R8 Y# R  u  I


# g: A+ _6 t6 W5 ~' @; v这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
  I7 m5 b: a* v2 v& p' ^! {- P

  d* z# w- c2 h; p2 b
  b2 F0 ^3 s8 f* y1 d
" p1 p! J& ?) _8 I+ s) x9 S% U

两边相加，并利用 、，得


2 n& b' ~, ?) x6 Z

1 _8 N- L' H4 u. c4 x

若取前 c 项相加，则得

  b6 k! f6 g& O; F/ d/ x. }# ^

8 W; U( S$ {- B4 P+ |5 `: o
6 V; ?8 R. v0 o9 U3 B8 g

情况三：  
# Q, S1 L- }' r, Q仿二之解法，可求得

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, \" a- q: P( {& R( N

  D6 `) m6 j+ W* @* b: B% [
. T8 w8 T% P- f
; O4 F+ D9 s. A" I4 z! S  P保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

6 B  \+ C1 h) n, i' }6 ?
2 n  ]8 I* D- K( c; k) _% M定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
% S/ j  |, e0 f! G/ d
  v& B$ }" t9 Y; d9 ~0 |! g# E现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
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首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
! D! p8 [4 X9 x  z
, j* N6 t8 C+ W, G6 a至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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& u* _1 s9 n+ K5 d( d$ _# s

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其中  为所下注之金额。利用

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  a% C( a5 |8 o8 J7 X8 D5 a, ]- u: V


, {  \6 I( F( \7 J) T, D可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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4 n. T( x8 E5 Z8 C7 s' H2 ~% n


0 w/ M' {, C  i2 q因此可得在情况二， 时，

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4 t+ d3 @& U: K7 T而在情况三， 时，
6 m2 b  A* ]1 E


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. J: C' ^$ M3 H+ R  }但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

0 c+ l6 `4 D3 q: \至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录


在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为








另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。