随机赛程的最佳策略

引言
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" k& q/ f; R+ n/ [9 _( c在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
, Z, b0 L' P0 P' o% L$ [
7 i; E9 S( P  W+ l/ D$ R问题
( _1 e1 l) W/ G1 |. L
) a, h) d. G8 E$ N! B( ]
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

" G6 n/ f' n" {5 h当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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本文

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问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
1 K, e! Q9 f+ ^2 `
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
+ P- \' c' m3 x& f. F9 C6 v5 E6 f

- Z7 i6 U; n6 A: X, \方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
  V" v3 U) ?& R; c) Z你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

; {: q3 K6 ~+ p& [6 y: _3 K3 K首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

4 |/ C1 e. ]9 W++,
& F$ u) ^: @2 [2 v" C+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
" r3 O( O; P$ ?# Y# W2 }
  N0 _. Q7 \% t# O( y; U/ T3 I" R






4 r; ?& |: I" C/ A: }6 I& v
; V! \5 T0 f4 y  N% l6 J/ B
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
: L# s5 G: c. V2 ]7 n-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
+ o+ b# U+ b4 h                                 
, ,
                                                                                。

* @/ Q& G$ r( }8 ^仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
7 u1 W' I" z1 Z; J
* d& Q" m/ y, @

. G& l% ^$ m% N/ y* Z+ @" ~; c
# `& `: }  t1 B



0 `8 o+ f) g9 h4 F/ P最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
- x$ u6 H# z4 N8 H6 d
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

; w  R* O" r6 ]这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
5 ~! r. f  t# T4 U3 E+ ^
0 G% k5 \/ F+ ~现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

. L% u1 y0 t0 w6 g! k! P
4 o1 i0 b1 u0 P9 [情况一：  
) K. E/ \$ U- w# R, Z1 e, u" s- o此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

& u5 c0 S( U+ N3 c3 ?情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
1 E7 u, o' s: M0 `
情况三：
( ~( p& [% J' \" _, d8 g2 }此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
% X! E" L. T5 s2 p: G
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
: u9 y2 f7 ?$ o; k$ E0 P5 ^  a
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
  \  J; L% \; n1 k3 [2 g9 ~: D

情况一：  
3 O) P7 k  T, }假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
+ @+ i% ~  E2 s0 ]* K7 e
$ k$ H' @: t  }/ y# A
$ {3 [3 l7 O% P6 ]; F

1 {4 t* f- `! w$ B. t

1 @0 `3 }' j) Y0 M这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

. B* Y& O: f: }) f  k& K  F情况二：  
+ }! o: ]0 Y" R; I- E+ L令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

8 f. x" u" v# }3 J9 x* W9 Z) e

& w! ?5 d: l' \& ?/ I8 T& D: S& r
  }% g% Z+ O, s! m" o$ A

, G8 d6 Y- ?0 Q这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
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& t& ~& r# o2 v

# _& W/ P9 i0 _- ]
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* r" j# l4 y! o/ w8 L1 y* M+ T
两边相加，并利用 、，得
( \  C" D7 \8 m0 v6 [. {" @

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- o# w( [% |9 k8 C& `2 Q. Z; p+ H2 y
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若取前 c 项相加，则得


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% j$ {. Y2 K+ P. q; M8 P
情况三：  
& H* P% o. d, g2 h; R# H仿二之解法，可求得
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* ~3 D7 A5 _- a+ ?# E/ D" ~

5 j3 w- p- j; p% i: e

& u5 n  w" U" N& U8 t0 F保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

: k2 [" p) u5 a/ t2 Z首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
2 T4 p* E& j  C: M# e4 D

定理：
( f' }; J) \8 W设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
- a! j2 m2 y. C: x此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

9 C9 G8 Y% n" h" Z现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
8 e6 F6 W9 P3 `8 g8 s) q: L
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
/ I. T; U# ^1 D# _
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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$ ^. e0 F+ c! }0 b


0 }" J0 o0 D+ }8 d( p& [: [
; X. g' J: x" B3 }! b& E8 \) l$ R其中  为所下注之金额。利用
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: L& B8 o8 l" \

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  @: ^3 Y! j1 E, w1 r3 O& ~可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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$ V( I3 U: b9 l9 E1 G9 S, u! I2 B
& K1 x* |- F% I" v& R5 n5 d因此可得在情况二， 时，
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+ _; C: z' m6 m# H& h+ x2 a
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3 m% B0 I2 H6 T4 v  x+ q
5 k- G) r# W2 ^8 q! X8 ?而在情况三， 时，



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' a$ U2 W% _! e5 W* p
' ^  P5 v$ y+ `$ D/ P但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

& ]( M8 C+ b3 I5 X" V至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录
$ p% N" Q) R7 I  c; M5 v# Y
  H3 ]7 a' b+ y! Z  z# c6 Y8 d
4 I3 T" U3 H* M5 X0 Z5 G9 O  `/ P在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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5 {6 `8 f# J, h3 o. u7 L$ i9 ^另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。