随机赛程的最佳策略

引言

( O; ~9 n- U. \* @/ m5 A在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

# a& e7 Q3 u6 S) k. A" b3 x) ^问题
8 x( h3 v& {$ q) m" Y. |% u4 |
+ i1 S9 z2 _1 ?& @( J1 W3 x
1 {, f1 d& ?0 n有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

: X& u, t  p+ _9 I0 x8 S当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
% [0 Y! Y) @7 C% z; z
- P. Y" Z2 y6 X8 r6 [& k本文

( W+ d) ]( {3 o- _6 J3 j0 M) E! _: B
7 N9 i% `  z' F% m6 v. s/ G) R  n) S4 N问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
8 |/ G0 h5 W5 ~2 d- H3 \
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
0 h0 @6 I3 z, }. S- s
6 Y! T" b4 {! M0 U; W9 B
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
$ W. H0 A$ p% b- P0 x1 \2 Z$ ?# G方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

- A) `& i* D6 ^  c9 r++,
+-++,-+++,
/ a* |2 @$ u+ ^* L+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
, v4 L2 y, \- |  [                                                                                                。
. H, `0 |$ ^) V. f在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


) Q# R! D( {" l2 J; B/ k

7 W! x8 Y; v5 v- P& N
( Z% u# e7 {$ P/ H6 |8 {6 n

2 O$ Z, k& x- x2 C  K# R$ L6 D- E
) i9 ]  J- e' r: ]

/ u$ p0 P) ^1 |" J6 s- E现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
% C( b( R+ J+ k, p9 b, F
++,+-+,
" p; M, {( h8 j. q  J& j-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
/ q3 r+ n/ g5 y( B0 L) u-+-+++,-+-++-+,
# T4 L# R# ]; d: }9 {                                 
' }; x- p$ D: L/ O# V, ,
2 N, Z2 @) j" M9 J5 h                                                                                。
- A2 r; L' a+ j
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

+ G6 J3 o: t' }& b, K

  `% K3 Y1 n* u6 t
: G/ B4 O3 P7 X  z7 |9 X



最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
! y+ P1 T+ o. O- {$ k* A
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
  s% D, v) {4 e9 C) ]+ R
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
1 x6 |. o5 t5 V* \7 [, _9 A7 q
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
% E; X/ S: d- _( M

9 l$ `  T' W( L情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
, b. C& I. x1 |' ]6 e( ~! t8 |
. `5 m* e! g- V% n3 V1 r情况二：  
: g6 k/ d: |, S+ A$ k6 }" g此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
5 X" R, o1 k7 G/ K6 z
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
3 `) u* d* P& D
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
7 v. k( S- q+ q5 X9 c# G; f1 r
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

% N0 B) ?$ z3 |1 f如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
" Y$ j( O* Q4 l* \

* y: Z2 Y2 s. [1 w8 Z! G7 H: i/ K情况一：  
7 B9 |! R$ H8 P! m. F- H2 x% f( ~假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
9 Y. h4 l- s3 s+ S  H


& I: a8 M6 N5 r8 J6 t: F1 H1 Y
/ s! k% R5 X7 y: }, }. v

' J/ V2 b; l* `0 l1 l& M3 E$ o这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

) [/ d! k1 F2 x情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

: P3 ?( t$ z# I- B

* Y1 d8 N% w+ K; K* l( j
0 F0 m6 I3 q  V9 u

这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
) R4 }- n5 b/ B! o利用p+q=1，上组方程式可改写为
$ \8 B6 m: j, y8 Y2 Z$ R; t4 x5 }

0 H4 ?! Q% r* e
- ]8 |5 q# W' c( j( _

4 X$ R& j  j! q
两边相加，并利用 、，得






* U6 t9 u. X, Y. s/ t若取前 c 项相加，则得
5 E+ o7 @; T9 R3 H3 t9 l8 x# B

! B: ?& i6 L5 z/ s! a+ H
- I) k+ {1 c9 N' [3 }( R* e/ R
7 N  F  k$ y7 i# ]2 Z$ c
7 q* z& k3 X- I/ U
! k5 D6 i! n3 H) |3 a3 `情况三：  
仿二之解法，可求得
4 Q. ~9 ~1 ]$ P

" C" I1 K: X7 Q" B


1 |2 s! ^8 R. b  Z( ~( C# R  ?6 s

4 ?6 x* Q' T# y7 y  J" D: x保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
. N# k: e3 X2 `( Y/ t0 M& B' o; m
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
2 w) M- X9 t# {4 O+ N# P设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
! R5 B3 X' W3 U0 e
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
! V. e3 M* l. @0 J
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
8 V* L  T" q1 g
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则



3 |. M# j# h3 ]


5 [9 S* f% S3 b
7 \! s* z' U9 v* H$ t
其中  为所下注之金额。利用

% B( A& A5 h& n( G+ s8 n
" [2 n3 t+ ~5 Y0 n$ E
7 q6 K4 e4 `0 j; z" p( Y! c9 G



( `& ~  \- V; v, I/ h+ r; [9 f
可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
* ]; E# E+ b2 @+ U: f

6 f0 F( o, Y# F1 P, B; c% C, |
/ Y, [- ~: z8 H* S

( v; Z9 ]( D: l( O9 m
  Y% V  X) G# ]$ |+ q: w

0 J; x$ O2 T5 A0 D因此可得在情况二， 时，

3 L3 N7 y9 G1 Q; A: q, Y) r- s) B: K, \# n


' U6 {. C6 u7 S/ U1 W! Q, J
. z6 l: e, W: n4 w5 M# F/ g


! X% w9 z% o# C而在情况三， 时，


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' {+ F* o4 E/ ]( g
' i  \; Z8 C+ m1 m3 R
& J, e( f7 `3 ~  l
; u7 ]3 C+ b0 p; L# |
# p% U$ d8 g# F8 \% e% K/ n
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录

+ z2 i3 |* e6 g/ K- i1 ], ]  q
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为





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7 L: _/ R" }0 w. o
$ i+ O/ N, i' u. [& O另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！