随机赛程的最佳策略

引言
% V1 j4 ~% @. f# U+ D
& R6 E2 H6 n" c$ ?2 f% j在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
5 ?/ ~, D: N5 }- P" S# h& Q
& b+ X2 {: I9 R; Y3 {  W( g问题

6 M- f) b& P, q
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
7 L6 f* r( S4 t
0 V0 `/ ~! d- v7 p2 C" f3 s5 U- ~当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
# k3 S% ?, e. g7 `1 H* x, I

问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

5 J5 y1 R# G% r4 p为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
5 V6 h8 [0 T8 [) A/ v: Y
$ P/ D  ]+ w0 ^2 l; b
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
0 u+ B. x* E6 Q8 c2 ^( \# B2 N方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
8 ^# \" L* b# ?% I; Y/ ^- d你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

9 U6 {# ?+ b) c$ d' ?首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

$ J! j& C3 u+ ^& @++,
+-++,-+++,
/ _9 U% D9 a  ?' J2 t+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
9 i0 m% z. [3 W2 |/ Q4 b                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


1 \: e1 k# Z# Q2 R" ~$ U

' r- b. Y1 Q8 L6 o/ I
9 _1 R% Z+ B6 Y! F7 u
( d4 P! Y# i+ x; o% _% C$ \/ P
  f; n6 i- X, g; W
1 p+ Y" r# D5 }' A

现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

5 e  P6 w( q. W" c7 M" m) }7 Q  l++,+-+,
( Q4 ]# m) }4 w# }, Q' l-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
. t: G) {% h+ M                                                                                。
, Q& g% l: W4 w* q4 ?9 ]9 d$ E" N
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为




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  r/ z3 T# d% S5 E" |( R

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
4 Q$ b  g$ ~$ v: C
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
( F0 T, P& H; ]% R
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


/ w4 t& k; V- O8 q) X( o# V$ o! m情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

0 |- h) _; S& X: j2 J2 G情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
* Z8 ~2 l3 S# u  }4 o7 S( _( D/ \
+ x; R) y! T+ s' P( O& i情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
& O( I1 \8 S2 E5 c! C9 O
, X5 X. Z- n; v; L0 o& @7 c现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
( n% H1 x( P+ B& K
+ W. Q4 r4 I* y! b/ ], a5 \2 Z如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

4 U8 ~% S* g+ |
  X% N  W) c7 N3 W% ]: M, {情况一：  
9 w  G: ~- }( X- o假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
+ e7 m0 a1 P) M0 @1 Z

. V& ^2 J) K& g1 s' C
5 N) U& ]/ @' r) z6 r6 n

. t, x( g' I1 h2 a
: f# O( B# n' d6 _这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

9 d4 [' H. Z( Q0 D
. p; |+ i% r  u, O



, |- M! K; E6 |. E3 J) b这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
* B; Q, _  t) I$ u% S利用p+q=1，上组方程式可改写为






' Y1 T0 h) d* b7 ^$ ]两边相加，并利用 、，得
" S9 z  R2 d7 u* [2 _) K
) c, q4 S1 x2 X' L; @# {" s
2 j  ]6 r, n% Z; I

2 a8 [! x& O: z. @9 f! y' F
, _$ T" r( ^4 ^
若取前 c 项相加，则得
! z, Y7 b4 R, t3 b3 x



* t' |2 g' c2 V3 M- [' I( }

情况三：  
仿二之解法，可求得



4 r, n# E; b3 J6 h! `. |' @6 N
% A) B$ T2 ]9 n/ A8 X* B7 o; \, `9 d) d5 d


- f& j* V* U. p9 m' J& a$ A保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
* ~" G/ U" s$ R  [5 ?( ~
' j- e0 e; g3 h& \$ O2 d+ i$ U首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


5 w, }2 X% `6 s' g定理：
/ \- X/ ^$ l1 @/ G- s9 {设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
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现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
8 J3 o* V  S; I5 B
: y$ N; o5 @) P+ N/ v至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
6 h$ m9 x) E( U5 Z1 K, y& ?+ F
! ~  W( M! x2 }/ X7 U
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9 \% c: B5 O( M
) s" t0 l5 F* S' F其中  为所下注之金额。利用
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9 l! |; `" v1 B( q; G

4 c, `6 ?# g9 f8 A, n2 x

% C! k, C) `5 }4 G2 H7 E可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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2 J# R: V/ v! D/ o


因此可得在情况二， 时，


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1 H% y; V: f( f& ]1 {1 ?

而在情况三， 时，

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: `0 J3 M- ^; m' T



但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
5 l- f  m0 o; `$ e# {  b  A6 U
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录


' a& Y% N8 M; G# c# Q1 z7 W在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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6 X# a) |4 n: C% A9 O9 J- g- ~
) a, t: X! o! y( j) c$ w
, g/ v( b: R$ y! [+ `0 K另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！