随机赛程的最佳策略

引言
  ?& A9 S; A1 Z1 e2 O
, O; o& G: {: f& \, n在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

& `' P1 }" b' H- h问题
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- P" o8 M9 z: H/ U$ i$ M8 U
) I1 j  g* Z% L" v, O0 C有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
* J- ~1 k4 ]* p9 k8 f. F+ n; c7 n  ^9 g
本文


# u6 v7 v0 I% p- I9 l8 r: }问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
, X; Y! t  t1 E( a
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

( q9 `% a/ d7 T: S' r0 d# n6 j
0 K' h9 H7 U# k' [1 c) A4 n; _方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
% C( ~/ ~0 x# n) h. ^/ ?9 f* {" x方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
- d9 \( |; v  e
8 n- w: W8 V3 {" G6 D4 H首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
3 a; t' z+ ~0 U0 n) w在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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# k  L! l3 Q% B4 `4 K1 F( x


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& l! y: G1 D, D$ F
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- I/ a# _4 G2 V  J+ U5 y+ Q+ b' T) \
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
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! {0 y; P! I6 f; h) t$ x++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
5 S/ x6 K; r' ~' `* N-+-+++,-+-++-+,
                                 
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                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
  s6 q! a) r* ]6 j* }2 o
$ @( U# }  o6 @) c8 q& ~3 R9 d
8 h: d# I' ^# U; `
+ Y' G( H. J. S8 K8 _; e

4 [6 S- Y% H9 v9 c0 B1 ^. b
  [! E5 p6 P- ~8 M0 L! y
+ H5 o3 M$ W( @' i6 v9 a6 v
# H5 \5 T1 f' T/ P  {最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
; I  r, f) @0 \1 a9 t% N2 V$ V( x
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
7 O4 G( D# m' H* u. o# [+ R; Q
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
$ e6 t2 R" S6 i  ~
9 Q1 `5 F) F/ S现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
2 J! r+ x! o+ V. x
9 K2 b7 w& d- D4 t
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

: E! E. {* n1 J6 b9 z情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

$ ?) Y1 b, q6 M0 s情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

# _2 ~/ r  L5 l$ I* Y8 k由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
3 D+ S' j: K/ x/ P
- J$ c' @  I6 k* W9 u5 d# n1 D0 l
- B4 |* f, }; x: \  _2 ~
8 G  j! J0 l1 ^- O+ }
# k; {9 B( L+ D) B2 w

' Q) Q1 @3 {/ o这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

- K( C8 i" @4 O: Z: ?; l情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式



4 ^7 ?" S$ M% J
9 {% Z/ @1 P* k+ L7 b

这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
. o( u# y! y  o: U' n+ H利用p+q=1，上组方程式可改写为
" L4 F$ O* C' D7 h# b& U
; _9 E/ h: P2 z) Y
2 d$ Z& V  Y+ q: @
' o. x- {2 Q' y* @
( x0 [  `' d% }6 u# M
1 N, A% {  u1 D' y3 Y
; O3 r% p5 Y- ]- D9 i两边相加，并利用 、，得

" |( |1 f, p5 O5 y


5 @. A' {" q* ]- C% L- T9 s$ c8 p
, V+ j" r2 p, L: ]5 f% E7 i
若取前 c 项相加，则得





6 K2 T, T) s  ?0 l  E5 i1 K
情况三：  
. `& C  z% ]5 k$ [1 J仿二之解法，可求得
2 I, r) N" N2 {- i


3 L8 b" e5 R& I  Z1 s  o


. l, e! T7 ~( m1 P8 z0 m& W. z
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
4 K3 \7 P) m# R4 a; d# g
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


& ?, w$ M8 Z" d4 }+ J定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

  ^, H; d: q& F- d现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
2 n' z! W% Z' C5 j' F! Z% C
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
/ i: S6 s4 P/ {* f% L1 \* P  a1 U: \
2 N# e5 Y4 j3 M8 ?6 n0 b至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则



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% Q0 D, W2 O% j/ C
  H( i2 P, L  d8 P1 l% g

* c. p* m3 X5 }; [$ E1 A其中  为所下注之金额。利用
' M" N2 B4 ?' g9 @$ S' f/ \
9 O; q1 M% A3 i) }1 d. c






: o5 ?. b/ j1 Q9 F可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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: Q% K9 c" v) N+ C- h2 @4 i

# ^) G- U4 ?( |- h4 V( I
! W9 h0 Q6 \, ~+ r; s4 Z% [- G

: e# Z& d- ^3 f# H. N, ?因此可得在情况二， 时，

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" p' g* F9 W" {' J" T& w) D
而在情况三， 时，



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" O  R' q8 [6 X6 L9 Y6 f6 K
" h% x5 @2 Q/ x# D, z  {
+ x' S/ R7 I; T2 @  Y! B但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
  C- E( X3 C8 p
  e& _- f; C; S$ B至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

4 Y/ V$ L/ Z* V3 w附录


5 B9 ]* H7 U+ X2 L- q5 w6 ?在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为



8 m' J/ W( }0 d" H- x

+ X; L5 ~. V  ~6 J& D' N% V
7 A, }, O& F& Q: V

另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！