随机赛程的最佳策略

引言
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* _& g- k- f! e/ K在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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问题

1 M4 B  T8 L, D* m
7 @, z# r  ^+ F( @( y有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

, ]# ]) z5 S9 [, Y+ r, b当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
' U, K7 g* o5 n) {" j: N$ N
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
7 M! c6 E- Q1 s方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
, D- q8 R% q9 x% f方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

9 u: o9 d+ ~# b6 t  P% ?3 r% W. O3 j首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
2 z( C4 |0 n9 j3 Q( r0 U. K9 A4 o+-++,-+++,
! I9 c4 q9 P" v- P9 m+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
0 s* K2 [, [. z0 T$ j; ^  F在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


& Y: y! n7 @2 p7 v; O, h1 G4 G


  Z9 t( ~( X: s# l

1 ^& L8 n6 s# H$ N6 {' |

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现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
7 w" n- G* c5 s9 ~/ d, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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7 M" g' L$ k* c& F% N  o
2 \) @! U( Q9 |% R* I4 h




8 H  ~7 s/ z7 l" v& _4 Y, @0 {- V
; @  ~: J- p4 b, k: r( W8 K+ f最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
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现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
# T$ P0 E1 S8 h8 }& q
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
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8 R4 j; _, U% R% l情况一：  
" Z2 Q6 ~  ^, F  J1 c5 X此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
) @: o' O+ d5 ~6 L
/ J$ c( \: D8 p+ u情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
; R5 h+ @9 l( k9 k4 T- n
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
; }! P' c  T  X  M! p
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
; g- o5 ?* I+ {: F
( L! i6 @# m; h$ I如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
4 D# r0 ~7 V/ l4 r7 c

6 f0 p: J3 e2 d情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此


4 @& G0 Z* S7 B, L) |2 ?9 w8 W
5 Z8 h7 y# O( e" O4 Q* i( H! w
6 H6 ?  g3 y* A' G

4 `! j/ u7 o2 h3 x* S; `3 N这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

$ M0 z3 y8 m' ~8 M, }情况二：  
/ ]; g$ S* [% L8 P7 A7 Z0 t* t( g! ~令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
+ Y& N  T  O% }7 |/ _
+ [  J  \0 e8 P  y) L( y( k5 K  U



; w' ?) I5 k* v7 E* L
  |( A& q  Y' b9 p这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
2 _# K6 u0 T' f8 @利用p+q=1，上组方程式可改写为
+ H0 P1 p- m0 D" a- O  u: a. T' Q
6 t' E0 ]1 ]+ S! {8 r9 a
% O0 V( z, M/ S* i


0 x1 j* ^  l: V
" S0 r3 v3 n; J3 q8 u5 N两边相加，并利用 、，得
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+ v9 v9 A) k6 J+ ]

$ j7 \) X2 i' J( }
7 D8 y3 w2 \( e1 k% Y1 [
  `7 ?# ~8 v( q
若取前 c 项相加，则得

( m1 I6 R( h" c( }% i# L
7 ]" M4 {1 t6 J8 Z* i



# C6 L. E0 h# T. L情况三：  
5 m* ?* n3 e4 k7 r5 L/ n仿二之解法，可求得

& @. z5 ]- ]3 `7 n

7 W/ [" u2 j- f- |7 K
2 g' G* c* K+ L: Z


保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
! S& {, h/ r5 r" t! o
3 D8 V+ J6 h& a首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
; @  a; c0 h7 ]" i* M7 ~此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
0 I2 Y# |% t6 m- q: S  J* q
6 Z7 `8 ~# Y4 _2 [现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
% ~; x- c3 B) R* H8 W' D6 a" k
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

% L6 F9 o/ |" M! E/ \: C至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

) x1 K9 d6 C3 N5 @; ]. I6 S
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, H; p4 [. d! ]' d+ n4 ?$ n

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其中  为所下注之金额。利用

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+ ~2 l6 j$ t7 B' Q8 r
8 |5 t0 X8 i$ H% n5 o

4 ?& d9 K6 x* n* E+ K" b

可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
2 U+ Z  [* M" w3 O
( g, X/ m  u  F5 j  @& u
% |3 k  c6 k# a$ `


4 h7 S. y: Z* F9 m3 @% K


! x" c8 u0 Q$ y. ^; `因此可得在情况二， 时，
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2 g5 d( L. V9 n& i

+ y$ `. }9 ]( t, r
9 k; I+ e( D- p! l- t% I

, p' E! f4 n4 n

! O9 l2 k! x5 d而在情况三， 时，
4 p) j( b& I5 b/ H' ^+ v

- S- O8 C& }  M' a  j( Z8 ^5 A/ u

4 h8 \* n; [$ F4 N* b/ y+ f

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7 U+ A6 G6 g) p2 \0 D
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

; }, C2 Z1 l  F3 q* m3 k至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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2 E2 Z' P( `2 m4 D附录
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1 m# i5 s* ~0 o+ _* _/ V  c
. _9 i" r% ~* k% N" {% J- H在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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0 S4 M9 ?- ^, y& K$ U) s


0 `: m7 K) E/ j+ B另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！