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小时候人人都有一个赌神梦。长大了我们才知道，哪有逢赌必赢，都是十赌九输。/ ~" Q8 h( f$ u0 D/ {
: a! h9 f! U- n7 o8 u
' M; Z0 z& Q$ `/ a想想也是，都赢庄家吃什么。要说“赌场里都是别人设的局”这话也不错，那里的游& z3 T) R# \) u; h( `
( s. d* i! R0 l
戏没哪个玩家胜率过了 50%。即便如此，依然总有那么几个人，可以赚的盆满钵6 @, W* i! d8 E0 b
5 e9 [3 E' b6 |5 C7 ^满。他们是职业赌徒，以 21 点（Blackjack）为核心业务。
, Q4 c, C- ?4 k+ g R: S1 P: {- K' H/ h
21 点是赌场里最可能赢钱的游戏，也是那里唯一相对公平的游戏，在采取最佳玩法0 t, W2 \' U9 @0 R1 J
_( E% v: b4 z$ G% x6 V的情况下，玩家胜率高达 49%。不过要想长期赢钱，这 2% 的劣势也无法容忍，高
6 X, S4 b/ ?* I+ t' x
# `" T1 m2 h+ r1 I: ?2 H4 }端赌徒们会用变换赌注或者团体作战的方法把这一点劣势扳回来。1 i; y7 N$ F( i* F1 H
h* u" U" I" V2 \6 U21点怎么玩
# t) @- R `7 l1 B8 ?: N% Q0 E虽然各种电影里常有 21 点的场景，但它毕竟只在赌场里流行，实际玩过的人不多，8 i7 o+ Z S& z4 |: @0 P
q1 K. y7 T4 Z) \- Z
让我们先来介绍一下 21 点的玩法。
# p, @' I: y: r0 r: R8 o" m0 P/ }7 N/ J: j( O# X- U# N' b4 S
这个游戏分庄、玩两方，通常庄家在一张半圆形的牌桌上同时应付各自为战的 5 到+ q4 G, U5 ?" N+ G& G2 k v& Q. j
! x' ?$ ^2 y& R& S7 t& `0 r8 d- F
7 个玩家，道具就是多副除去大小鬼混在一起的扑克牌。玩家的目标是让自己牌的
8 M1 E: T" I9 Z3 q1 A- Y0 j: _& V; L' S% m- }4 a
点数和大于庄家，不过这个和如果超过 21 点就直接出局了（也就是爆了）。花牌% K% F3 ?) S% D# \" ~( Y
1 y" G7 q5 J. r* M! h8 W [算 10 点，A可以根据需要算成 11 分或 1 分。
5 t; m0 _8 K6 z, |( U$ q, `0 I, N, J2 |" n3 m6 c8 @1 x) |
首回合玩家和庄家都会得到两张初始牌，各自只翻开一张。之后每一回合，玩家
7 b8 {" E: Z& J2 c3 w2 P, h/ q, I( a# m, E9 ]% O& H
可以选择：$ I$ @, R) f9 S: Z
" n* }8 @* q, P$ x3 M& s$ t7 E
● 拿一张牌（Hit）
- d7 r( {' f% [" q T/ w4 k0 c/ _7 U4 h
● 结束拿牌（Stand）
8 B/ w3 ^3 N' D" o" Q% q2 O' D$ {; a) p
● 赌注翻倍并拿一张牌（Double）
2 o, b& j( Y- G6 U* d" l) C4 R+ d) Y( [4 @
● 如果拿到的两张牌相同，玩家可把这两张牌分开，压上另一份同样的赌注，并从
6 c d! a4 J5 `; H+ j3 _
; @" z& m. \$ e& ~8 e# k6 v庄家处获得另外两张牌，相当于一次同时玩两局（Split）. g( f* y% K: ?5 D$ E4 g" J
6 y* ]' X/ b1 \1 Q$ w G
● 认输，投降输一半并开始下一局（Surrender）
& t* z" S- V d o
1 i" \3 u* A0 M. K; e) Z7 i! |要注意的是，其中Double、Split、Surrender只能在第一回合选择。有的赌场允许
0 l5 H {) p/ N5 S! u W, u7 `. ~/ \/ M( Y& N! I) f
Split 之后 Double或者继续 Split，有的赌场则不允许 Surrender。0 N8 l7 n( c7 |8 R$ n
/ k7 m0 d2 i# q8 b$ z% e2 o2 Y
当所有玩家都结束拿牌后，庄家翻开首回合盖住的牌， 如果点数和小于17就拿牌，
, y/ u! }5 q9 p# ~1 b) D! x2 r1 l0 V0 J! u. c
直到点数和大于等于17 ，庄家不 Double、 Split 或者Surrender。如果庄家爆牌，, z) W+ k- L3 \+ C: I1 r5 }: m
3 T( I; r1 L/ A) j- W所有玩家都获胜。如果庄家没有爆，比庄家点数多的玩家获胜，点数相同的话为$ r* \0 h' \9 a' p. o
; C) d. N& m3 H" @2 J平局，点数少就输了。4 j) s# @! ^# }# z1 t
7 V* G3 J% k$ M: K9 |, Z$ I- P
当然 21 点还有一些特殊的规则比如保险（Insurance）和Blackjack（拿到一张A5 N. v( a9 l. _$ w- ]
2 B& I: h2 @/ B0 g3 R- |3 L和一张10点的牌），这里就不赘述了。
' P% o* a* k$ m6 R# G, ]) t" |
' m8 X9 e" T' @2 G" i) X% L( u
9 p/ i0 r8 a" b* T, j高端赌徒如何要牌 i! P; J: `% ~, Z6 G
% c" Q8 l0 W. Q6 i- r8 p6 N可以看到 21 点并不复杂，数学家们很容易找出最佳要牌策略。计算表明，1 U7 D6 R7 x" Z7 x) @- v% r
3 g7 H4 r% f0 ~) h/ D7 ]- h+ F: l最佳玩法使得玩家胜率达到 49% 左右。对职业赌徒来说，做到这点没有什) b* h- c* m' R, x. `7 D
/ @ T3 B% @0 h5 J3 X么困难，所谓最佳玩法不过是 3 个矩阵，记下来就可以了。
C' G, n5 Q1 Y9 W$ a0 q$ ~/ B U6 N4 L
3 H/ r5 b& t" a0 Z p+ U7 G# d上面 3个矩阵几乎涵盖了赌局上可能出现的所有情况。顶部横排坐标表示庄
; ~. B7 R# d% M5 L
; U. d; m1 @3 M: \( J% e家首回合翻开牌的点数（T为10点）。第一个矩阵竖排最左列表示玩家当前
3 C: `: O2 Q( z' {" ^1 ?2 q
$ C; [8 d) r% Z- G; A手牌点数和， H 即 Hard，就是说要把手牌中的 A 当成 1 点来算（如果有的$ G+ Z7 K' h* X' o) p) w
. F t8 Y. C" ~! t5 U8 A6 u话），另外两个矩阵竖排最左列表示的玩家手上的两张牌是什么。7 r. e8 }! Q# M, ]3 m/ e! W
1 Q8 M* u# H( s3 @$ {* D/ }剩下的矩阵元素就是玩家对应的最佳操作。其中 H 表示 Hit， S 表示 Stand，
2 @6 C9 U) C- M9 m" L
7 g- o$ D8 _! I) a7 C" e4 f: j Z( r7 H P 表示Split， D 表示 Double（如果规则不允许就Hit）， Ds 表示 Double6 S. P7 ^$ e8 \( w; g# z! L
; t5 B6 z$ \+ P（如果规则不允许就Stand）。5 o) s# g# {8 s- c7 O( w
E7 J% J( [! A1 y- I, `, t/ P
仔细观察上面 3 个矩阵，许多要牌策略稍加思考就可明白。但也有一些很
8 B3 N% e7 O, l: C9 W
1 v: b; u2 J% h: z4 o; s有意思的地方，比如说当手牌和为 12 时，庄家牌面为 2 或 3 要 Hit， 4
! }: \0 i3 p: B7 D
& w7 d/ D0 J$ O3 e& ?; v/ O' C到 6 要Stand，当庄家牌面更大时则应坚决要牌。
# e# x* Y) o D) x& J: [4 s+ [' _( e3 i$ o+ M" a& z4 }
为什么会这样？什么时候要牌什么时候不要，概率说了算。不妨让我们先
; Q: K1 ^$ X b5 x( k% u
. X1 _* e: H3 y) `3 |9 [来看看玩家 12 点时 Stand 的胜率。庄家开始抽牌后，点数和大于等于
7 c0 R/ b, [& S. }6 l, {# i+ n
4 H# W3 t: Y6 b2 _; p 17 才会停止。这时玩家要获胜只能寄希望于庄家爆牌。6 f- z* l& b$ ^) W% a1 Y# o$ q
/ Z9 a C: n' Z/ P
如果庄家起始点数大于等于 17，根本不用抽牌。点数和为 H16 时，抽
# _/ Y- Y5 a9 E9 z0 Y' N' v+ c0 A% x5 G0 a$ @0 r
到 6~T 会爆掉。我们知道，抽到不同大小的牌的概率是相等的（1/13），
. E5 [8 q/ z7 h- i& a; J
; E$ q) x) h1 d6 m( p2 k1 l: p9 l设 F(x) 是当前点数和为 x 时继续抽牌爆掉的概率，那么：
* d4 f% a$ I& I2 H# I
, X# X* p8 d7 U7 J# c' [. HF(H16) = 8/13 = 0.61538. R6 k( Z E( b9 O5 Y9 K+ A; m
+ o8 \" B3 j. D0 }! F当庄家手牌点数和为 H15 时，抽到 7~T 爆掉；抽到 A 就化归成了 H16 的情况：
- @( ~ E2 K p1 E
; Q1 w( P. l" U$ b* LF(H15) = 7/13 + 1/13×F(H16) = 0.58580
: @2 b0 N! G1 |. [# [
7 X/ m! K* k& `" F9 h% [4 E同理可算出 H14 到 H6 的爆牌概率。当庄家手牌和为 H5 时，情况又有所4 V% S6 H# w+ X9 a8 j& ^/ Y5 _2 d
( S m5 y2 C# J' H不同，这时 A 可以被算作11点，把这个变化考虑进来后，也不难算出
# e8 b8 B) ~& ` }$ y" J! s, G
; R: Z& j% T# B' U( L& p2 n H2—H5 的情况。
, P/ n; B' m$ Q3 q1 y8 P0 z4 e7 p* l r+ R- [5 M
那如果是玩家选择 Hit 呢？这时有两种获胜情况：
" K5 H1 B! D$ v( n: t' I, P* M" d3 U" M; E/ f. `
玩家没爆但是庄家爆牌
: Z: G* p1 L/ q8 p5 o" y% h$ h8 \, M
玩家和庄家都没爆但庄家点数小
1 y6 |* _$ s- F* w q2 y2 D( _8 L8 u O( F4 c- z4 G
爆牌的概率已经算过，现在来考虑比大小这种情况。如果庄家第一张牌6 c: ]7 Q0 D1 ]& g. i& N: W
5 W, L* E" w8 z
为 2，令 G（x） 为庄家得到点数和为 x 的手牌的概率，则 G(H2) = 1。
5 `( j% ^' q" |8 k5 o6 j: H! c( o2 T* H# o- ?( g
如果庄家手牌和变为 H3，只能是在 H2 的情况下抽到一张 A，即：4 C" D2 \" J' V$ r
; u$ w* H/ W% o
G(H3) = 1/13×G(H2) = 0.076921 i& ~- v" A" {3 B% x
6 a& Y# ^2 p8 f! z2 Q0 P
类似地可算出 H4 到 H 21 的概率，依然要注意 A 算成 11 点的情况。
/ Y! b8 \4 c$ i5 I$ w" M" e; D$ G5 p8 T( T5 E; o% R( m
在双方都没爆牌的情况下，玩家通过比大小获胜只有以下几种可能：
( q- U) \0 `. u1 V9 N4 R0 ]( b
( M( @* N3 g- Y8 x/ o3 c" A# L9 w+ `玩家拿到21点，庄家拿到20~17点 G" h, u/ y5 H6 K: B# [
. R. n: I. T) Y- y. J/ w
玩家拿到20点，庄家拿到19~17点/ V1 }% }# _+ p2 I; B
( J3 L( c9 P% V* Z玩家拿到19点，庄家拿到18和17点
! e5 I" Z, L; E
4 Q- c; d$ y: g2 r* u1 J玩家拿到18点，庄家拿到17点 u* L9 S3 v) ?. G- k! G1 Y
7 E) C) f! Y8 A; l玩家从 12 点开始抽牌，拿到 18 点，相当于从 H2 开始抽，拿到 H8，
( O5 \! l( t8 s& Y
- }8 E% l) g7 N7 ~) k因此概率为G（H8），而庄家拿到 17 点的概率 G（17）。据此情况4的, q# \2 u! }/ ?: Z+ Y& j
3 V# o+ F6 M, n: R
概率为：
& [. X5 [) k! h/ R3 i& n( X% t' y/ j4 |5 S( v& r! u. ], ~9 j
P4 = G（H8）×G（17）
/ O( `, h; x+ g+ V
1 t9 X* V# g+ n q7 k% L; _1 c( i$ h同理可以算出P3，P2，P1。因此在玩家手牌和为 H12，庄家第一张牌为
k ]* A/ c. f* ~" [
% K$ j4 M$ C+ V- q" h \ 2 的情况下玩家选择 Hit 的获胜概率为：9 G1 l' o4 Q1 l: k+ L: @- u* ]
3 O: ]* X; j" H& v+ N9 {
P(H) = P1 + P21 + P22 + P23 + P24 = 0.36958' |+ l3 l D2 n% p" l
. y$ X- ]6 w. E- V( P
前面算过，此情况下选择 Stand 获胜的概率 P(S) = F(H2) = 0.35831 i3 h0 [7 Y5 \. U: a
$ ^& @" x9 [1 E. `2 B
P(H) > P(S)，所以 Hit 为最优策略。
6 c' F! W, q5 I) V7 X' ] ~2 x2 M0 u2 l& V! f' G! I
8 T& H9 ?% q4 s& p* Q- i
' M% B1 ?) I/ i$ { |
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