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小时候人人都有一个赌神梦。长大了我们才知道，哪有逢赌必赢，都是十赌九输。
. O! X: i( j5 H3 ~3 ]9 t4 N0 o, K; E) C0 s' j* }6 ~- O8 ?# r* u3 K
1 W1 E$ k1 b5 K7 w- P- E% `* W想想也是，都赢庄家吃什么。要说“赌场里都是别人设的局”这话也不错，那里的游' d8 \- ]5 t$ ?6 R5 N
. Z4 N# @! a0 D7 g% a* @
戏没哪个玩家胜率过了 50%。即便如此，依然总有那么几个人，可以赚的盆满钵
( D# _1 J; s K W& h* w9 I" m2 s3 ^- K5 x/ A T% E
满。他们是职业赌徒，以 21 点（Blackjack）为核心业务。' t% C+ K- Y- v
# B8 N9 d! _! q0 H0 t. S/ Z0 w- ?
21 点是赌场里最可能赢钱的游戏，也是那里唯一相对公平的游戏，在采取最佳玩法' k/ s {, w( n& e/ y2 N
0 [+ u) |, {$ `: L7 H1 `的情况下，玩家胜率高达 49%。不过要想长期赢钱，这 2% 的劣势也无法容忍，高6 D2 R# A; M/ ^" H
V5 Y# ~8 I d$ K端赌徒们会用变换赌注或者团体作战的方法把这一点劣势扳回来。. K; ^8 o. y4 B6 H0 Z
0 P; H, Z" L/ W+ Z0 t( a( S
21点怎么玩, P Z# W" K" Z
虽然各种电影里常有 21 点的场景，但它毕竟只在赌场里流行，实际玩过的人不多，/ i! a4 i% L* `, Q
# g. l# g* b3 A h: T让我们先来介绍一下 21 点的玩法。* L- L# j2 a% y
7 K) [* e* c- b8 E7 C! Q* a% z
这个游戏分庄、玩两方，通常庄家在一张半圆形的牌桌上同时应付各自为战的 5 到; G& w7 n" A0 m4 Y; R0 ^" Y5 t
* H0 F f6 o X9 T 7 个玩家，道具就是多副除去大小鬼混在一起的扑克牌。玩家的目标是让自己牌的
0 D7 ]$ @, x* C3 j+ {0 d9 V* x6 ~! X: q' I, W1 ^
点数和大于庄家，不过这个和如果超过 21 点就直接出局了（也就是爆了）。花牌
3 q% w& R& F$ ]# f" {" I; w8 G3 r4 x& F
算 10 点，A可以根据需要算成 11 分或 1 分。6 k9 Z3 T% u. Q1 s# Q
+ ~" @2 P9 L, s) t, T' t' ^首回合玩家和庄家都会得到两张初始牌，各自只翻开一张。之后每一回合，玩家$ I( V8 x* O) M: V
1 o5 S% b W1 x6 V) E0 a可以选择：
; H4 C! X% E: t, y8 L- h' t! m5 W9 A) j w! B
● 拿一张牌（Hit）
. j7 G9 ~ P% {0 Y3 f
" s7 R6 S1 }; t7 B● 结束拿牌（Stand）: i4 P7 O9 K0 { E6 a
3 b0 \9 E) u) `# K- n5 p5 J
● 赌注翻倍并拿一张牌（Double）! ~3 Q) b) |, M( k0 L- K# o
% @ k4 }" i: |3 l; y9 j4 |+ y
● 如果拿到的两张牌相同，玩家可把这两张牌分开，压上另一份同样的赌注，并从' k7 b6 D b% ]+ L1 y% L
$ w8 J1 f( R9 f! W庄家处获得另外两张牌，相当于一次同时玩两局（Split）0 O. C! J( O+ U+ ^3 Z
6 \5 R/ F4 d# k! r( y4 Y
● 认输，投降输一半并开始下一局（Surrender）
; d c2 d; y- C8 {: U2 M, s ]. z8 |7 _ b6 U4 \- a& v
要注意的是，其中Double、Split、Surrender只能在第一回合选择。有的赌场允许
; a: G1 ?3 ?- V" J4 y0 S* T3 q& _( f+ M, G7 [
Split 之后 Double或者继续 Split，有的赌场则不允许 Surrender。
% h& V* T/ q) m5 l
( p* s6 K6 l8 O5 @, J当所有玩家都结束拿牌后，庄家翻开首回合盖住的牌， 如果点数和小于17就拿牌，% I9 u# |9 U7 I- X8 g/ G% d
9 T$ e+ y6 Z# u4 D: ?, u/ @# X
直到点数和大于等于17 ，庄家不 Double、 Split 或者Surrender。如果庄家爆牌，. D7 z: }# O' Z9 u7 f0 p
, Q- M v; @3 J2 M, c7 E. M
所有玩家都获胜。如果庄家没有爆，比庄家点数多的玩家获胜，点数相同的话为
% ], [+ a9 H) W# ?+ b. Y( k1 R6 u1 `( w+ G
平局，点数少就输了。3 u( g! f/ {( {. ?+ ^* z
5 N W( H1 ? ]; l
当然 21 点还有一些特殊的规则比如保险（Insurance）和Blackjack（拿到一张A
! E' A8 u4 T6 }, \5 B: `' p* U- [1 Z: ?' i1 Z
和一张10点的牌），这里就不赘述了。! T- p* G. k+ t) m
2 N$ }( C0 J' W+ R1 G4 @: o; `; h$ B8 M% M" H3 P; N* i
高端赌徒如何要牌
: u2 v' B S8 }0 r+ k
# p+ E2 e0 U$ d+ z4 g, D可以看到 21 点并不复杂，数学家们很容易找出最佳要牌策略。计算表明，
3 m# z" B- _! q5 W/ q( B1 B8 v1 I/ L0 |. S6 k3 m' @$ Y
最佳玩法使得玩家胜率达到 49% 左右。对职业赌徒来说，做到这点没有什/ p F; i! O, |" A2 e/ ~! A+ `
* I4 M. I6 \& u9 L4 i+ J么困难，所谓最佳玩法不过是 3 个矩阵，记下来就可以了。6 }2 f4 Z" E6 v/ m8 \/ V
" B' i: N1 b" T2 _, X; h
4 S7 @( |8 Z/ K, N上面 3个矩阵几乎涵盖了赌局上可能出现的所有情况。顶部横排坐标表示庄5 O5 p5 r \' w0 w* |/ B
9 p- _+ v3 W6 K, W* `* ?( _! Q5 s& u家首回合翻开牌的点数（T为10点）。第一个矩阵竖排最左列表示玩家当前
9 z7 R# K! y/ P { ~. t
* T7 K1 T! V; c( V9 h3 n* e手牌点数和， H 即 Hard，就是说要把手牌中的 A 当成 1 点来算（如果有的1 r& Y) O* t9 X$ D: u8 ^" y$ r- Z
4 B0 B; O3 B: l7 D
话），另外两个矩阵竖排最左列表示的玩家手上的两张牌是什么。
, u c& M! f$ ?6 ^& v3 \4 C/ ~8 G: l, `& q8 R, |) O
剩下的矩阵元素就是玩家对应的最佳操作。其中 H 表示 Hit， S 表示 Stand，3 p H& G g& g! _8 @% e0 p) s7 k
% \2 Z' j3 |" o& j: m P 表示Split， D 表示 Double（如果规则不允许就Hit）， Ds 表示 Double
" E& X, u- i2 o& P0 K( f0 ?0 m: u+ o
0 B! k! J, L4 T' R: v! @（如果规则不允许就Stand）。
, F! [/ R, q) P: F/ v& R, S% h
+ `6 s! B0 M- d$ |- w2 ~" J仔细观察上面 3 个矩阵，许多要牌策略稍加思考就可明白。但也有一些很
7 U) D/ |9 b+ U) n8 X: n) I5 n' u& i- f2 u
有意思的地方，比如说当手牌和为 12 时，庄家牌面为 2 或 3 要 Hit， 4 ; Q( P5 `+ U; D" M. O* T I
# s, s7 w' G' Y5 P# r6 ~: z0 E" ~
到 6 要Stand，当庄家牌面更大时则应坚决要牌。+ u$ A5 l/ t; ]! c# [; P9 Y F* }7 P
6 I% ? y: S2 J% R+ w* ~8 C$ X为什么会这样？什么时候要牌什么时候不要，概率说了算。不妨让我们先
8 F& k9 d5 R( i* F3 s
# j* f% I) n/ g; [6 ?7 c$ a来看看玩家 12 点时 Stand 的胜率。庄家开始抽牌后，点数和大于等于
* L9 i/ g8 S( L; W J
; Y9 v/ S9 ^ T/ R: O4 i+ ~) T% a 17 才会停止。这时玩家要获胜只能寄希望于庄家爆牌。
" }9 N/ D6 q+ C" M1 ~: J& @$ I$ R. J4 x9 @' ^! D, H! f8 n7 p3 d
如果庄家起始点数大于等于 17，根本不用抽牌。点数和为 H16 时，抽3 t% `( Q$ a% n; e+ W) h
! y& p. Y- k& p到 6~T 会爆掉。我们知道，抽到不同大小的牌的概率是相等的（1/13），
% R1 b( ^3 q4 N3 L/ U9 R$ x+ q% @# F- h4 B
设 F(x) 是当前点数和为 x 时继续抽牌爆掉的概率，那么：
% m( @: c5 G" @. ?( ?* H N& e. h0 J- a" Z* ?0 O
F(H16) = 8/13 = 0.61538
2 b# \& u+ x/ E3 x0 v. G! {- t' M* O( @( m3 T) f
当庄家手牌点数和为 H15 时，抽到 7~T 爆掉；抽到 A 就化归成了 H16 的情况： W& J) i9 v8 ^% P1 l+ ^
q2 J& d0 D+ R
F(H15) = 7/13 + 1/13×F(H16) = 0.58580
4 Y& n; m- w: Y& O% ^1 |6 ^* n* }) D- i8 Y {8 E8 z8 k+ Q! t- {
同理可算出 H14 到 H6 的爆牌概率。当庄家手牌和为 H5 时，情况又有所
; \# A, l& @+ J
8 l3 J; L, C# b$ w, J+ J% E& l2 x0 z不同，这时 A 可以被算作11点，把这个变化考虑进来后，也不难算出! y# t3 W+ G" k' V; k. U, N" Y
$ j' B6 m& {0 {, q! r
H2—H5 的情况。/ k/ i% J+ _; W1 n( {2 S
% S9 x" K8 K" p5 q" u那如果是玩家选择 Hit 呢？这时有两种获胜情况：( ]. Z0 W$ S4 i& b- f
9 F! b& G; r: k; q" ?6 D7 L( `9 c# i# j( H玩家没爆但是庄家爆牌
( V1 j8 d+ l6 K7 | J- a1 S& C$ W/ E- U( b
玩家和庄家都没爆但庄家点数小
0 L/ S% T; @3 `# ^6 u' G$ P# V9 b) C. B& l# ~9 f
爆牌的概率已经算过，现在来考虑比大小这种情况。如果庄家第一张牌% O+ |2 ~" H l, n
( J( O. s. Q. V; a5 {4 \3 o4 }4 ^
为 2，令 G（x） 为庄家得到点数和为 x 的手牌的概率，则 G(H2) = 1。/ D8 Q9 S! h& r
) E M5 F2 y% a8 f+ d. O
如果庄家手牌和变为 H3，只能是在 H2 的情况下抽到一张 A，即：
$ p( u) `. _( o3 F ~ A/ z7 n3 F, A" a+ B$ i9 P; ]; @, _; m
G(H3) = 1/13×G(H2) = 0.07692
U$ D1 m% v, S+ f5 S2 k' Y& J, U
+ `' I b& h' Y# q; J; H8 h类似地可算出 H4 到 H 21 的概率，依然要注意 A 算成 11 点的情况。
9 w# x, Y! D* }% U
: F" B, P( D, }4 i w0 h: }在双方都没爆牌的情况下，玩家通过比大小获胜只有以下几种可能：9 t9 Y% n+ P7 w" d- w
8 e. E7 X/ s) H
玩家拿到21点，庄家拿到20~17点5 l, z) R* e- Z# J: L. L# e# Y# b
( x# [# F7 A/ H2 J; r
玩家拿到20点，庄家拿到19~17点9 |& E, u- O4 l( k8 @& m
9 Y6 G5 X: [* u9 L1 {- S( b0 n
玩家拿到19点，庄家拿到18和17点
+ d6 m9 `* \8 Y: {% U7 a! j. l3 r# I
玩家拿到18点，庄家拿到17点& ^+ y$ f+ P% H+ ^
* |) P' g2 a( n7 ~
玩家从 12 点开始抽牌，拿到 18 点，相当于从 H2 开始抽，拿到 H8，
7 I& |$ ]- u7 L9 K/ I4 |: B' y
4 N. J& K, Y8 ]- W因此概率为G（H8），而庄家拿到 17 点的概率 G（17）。据此情况4的
8 J# D- I3 h& t. E& Z
" j7 Q; A# F N概率为：
+ {4 i& o9 T9 F' F+ t
# L; H( Q/ O' x3 RP4 = G（H8）×G（17）; B. p* Q5 m& j$ ^/ ^5 k3 _
8 ~8 m% N( i5 {+ ?5 I同理可以算出P3，P2，P1。因此在玩家手牌和为 H12，庄家第一张牌为' y' \4 r! H/ [1 b
0 k0 B6 F2 V* R, v/ G' G
2 的情况下玩家选择 Hit 的获胜概率为：
2 t, j# G; O4 V5 {' n |
" B; ~. ^6 S0 x1 z) Y& cP(H) = P1 + P21 + P22 + P23 + P24 = 0.36958
% D- f& o2 ]( I4 O7 K7 Z% ?) ~! t3 ?& U3 V* }* l3 O* x+ S% m+ S# Q+ G
前面算过，此情况下选择 Stand 获胜的概率 P(S) = F(H2) = 0.35831( G8 ]7 j8 b2 k: v- u0 u# d
) j+ d! i8 L: G# E8 r9 iP(H) > P(S)，所以 Hit 为最优策略。
* Q' A3 K& Z) B* W T9 u" w! S/ C" a4 N+ v+ A
) l, \# }# O& I0 L
7 c: k( h" Y$ B
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