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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑 % o5 V d/ ] O8 J
! q. Z" N: \5 O9 ~% o( Z$ k D0 W9 D 我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡
* E4 ~8 p/ M& u1 {- E/ S! I. n0 {4 D
(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的
% j' q6 r4 V% ]
/ H8 p l, [" W" g6 j原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,
( { D/ g! T# T# c" z
& b% E/ k4 n' z. ]7 G2 p% ^就算打赌,也要精“打”细算。
9 J6 B% H- \9 _& B
% q3 [, f1 B) ~( w, i完美的DB
: B: x( a3 d( Z! T" u2 e
1 W. c/ O1 ?- R
& L/ |( X. C' n& v4 e1 ^) xNBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。
. p$ @ M0 A" L, O+ U$ O$ c
2 x! j }5 W0 f k粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概% \% {9 h0 d6 G/ G
9 Y% l4 B4 W- h1 m4 d. m5 \率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我* r0 M( U( r7 e i* {
# j7 m' t6 E) N0 i' x$ h
们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!/ Z. N1 D: u2 \* R" a' n+ O, @
~7 \: Z+ E' D+ i, D8 t方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元,5 x3 V" m$ M: m" M( }) L5 [, @
8 o6 ?0 j" |1 ~# u
只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为
4 ^4 L$ D% I5 T6 E
1 _: C% \$ |3 @, B' ?4 {正,就会跟我们打赌:
0 B" u& ?$ i' W l2 R( k+ z( c& ~' `* x' Q7 v8 {8 |
p * x - ( 1-p ) * y > 0% X3 b, {1 X1 x- A$ e
q * x - ( 1-q ) * y > 0
' T5 d, G1 \* m3 ~& w" q" C加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就5 o) m: E |- U& i7 O6 `$ K1 v- L
/ n7 P- _" e* y' F( @
是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:7 b( n9 h! p: x ^& V& I# `
* J8 g O$ T* ]
# l. \0 }6 F/ ^- ?7 |$ R3 e B
* m ?$ ?8 P; o6 U3 G2 u看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管
1 O3 m$ \/ v9 p9 f% U3 E; O
- g/ f/ s3 @+ \. c: Z“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又% w3 E& V8 x0 M6 z6 N
5 d( n4 p" R0 B: y% e" V, @; n
是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?
4 j5 j% a4 r; K$ l+ f3 I4 Y( F3 O" T G' ~; |$ _9 C
" b5 t; [1 B$ s0 |三张卡片的骗局- r+ r8 X" h$ ]/ b* A9 V% X; t
% d8 e. _( P5 S0 C) }% K( d0 z, j8 V3 p( q/ x+ X2 }' h
这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是
6 c* F1 g4 {" z V$ h- n, Y1 l' R8 v5 g
红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平' `0 E0 J4 a- z: q) P8 v4 y- T, u- u; ], E
3 t. t2 {+ J8 W Q' H: B放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面
, u Z2 Z' t3 G( X; ?& W/ H% v7 `, I/ H
是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。
, |2 z* k5 ]+ n2 C9 Z% L% X: B2 m: w5 u3 Q6 P2 m5 p6 ^
事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不+ n Y4 I" N1 P4 T0 \0 e1 ^
6 A* x! r1 I5 b, F/ t* I是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:* C; ^2 r6 m. P$ H; y
' Y. D' E0 v/ }+ M1 c7 e+ V+ N# |0 L" o0 o5 o& e$ L
- s& Y; w, a; t' }4 Z. m; Y# K2 V" G2 C: @8 `
2 l' B$ Q3 Z5 S' D J/ L
当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色
~" u* v: t3 H: s: w! C) |) A, i* E* R0 H7 y9 {3 f
的情形占了2/3。
& j5 }# L3 K& ^ N$ E: o7 a3 l- `6 I" _1 d* @0 K" @
这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这8 e3 w! N: V9 v% C: w! d
% A2 ^% p0 W, V5 P* a( C: ~7 x
个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国/ U/ e6 y i. F+ \. d$ C4 B: j. C
7 X2 u9 S L; C1 O. _& T
数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)9 d3 o) R! Q5 J
5 s. r, q6 ^4 y称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。: S7 G9 h7 |8 K+ f3 t" j) s
z3 B4 g9 p2 a, M如此不平凡的黑桃A6 n" Y2 C2 E6 M
9 h# v/ G& U3 j- C4 y; D: W( b
有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面
% L5 c! R, _+ l) s: o' g" T ^% R, }; v% B
就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我
6 n1 G) ^" T1 G
5 C; X- e6 n7 l* X还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,
, O) s" b) U3 a. d$ L
6 i9 k* D4 R7 B U; t当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我# ~( X i$ n9 }1 o: l' g+ ]
" P1 @. p+ g! ?% z% F
还有没有更多的A?”7 Y, p# P7 y! L1 N& ?
1 W! \9 C; Z @- m* Z/ b7 b很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人
# ?/ y/ e! y( u. t- X
3 @) A# X% t2 W. l y不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:
6 X- U O% r* P
% i& m: ?1 r: d$ j, ?6 |$ @没有A的情形:C(48,13)
9 A" {: S4 K) g, ^4 C! } g% r, s5 {6 g) o! i3 c
至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)& R" I8 _% G3 B9 j4 s* ~
. ?( C" \# [2 m/ n) z' C; K
恰好有1张A的情形:4*C(48,12)% ~0 G9 {' C, C# X w* h- x
) T) S! b1 K3 Q: H" w2 z至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)* P, S) A3 W. [" z( E
2 W c( G8 W2 H+ F事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:
7 i( [5 x2 c# E) S: ]5 |6 @; P" o$ K5 P M/ l0 A" n6 Y! E5 s
P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/2 ~# u+ k7 y" h, p* T' Y
(C(52,13)-C(48,13))≈37%, X6 x5 T* b( Y O* ] a& x3 z
# B- |- D! A) x0 \
这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家% |6 f$ p. b1 J1 ]. @
打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,
5 m& F4 s& s6 B+ N
) e# I+ L) G" @. `$ i: x/ B接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:
6 @% ~% ?& ~! r/ W1 p1 l1 h0 K/ d. }" [, u3 X* E$ C
有黑桃A的情形:C(51,12)% I" ~1 Z3 n" C* J, I/ [ g2 ]
, Q; ]/ s, U* n& T. e6 {& E
没有其它A的情形:C(48,12)4 Z i! y3 R$ r# o9 I( `
! x9 V& e$ y; |( b/ T
还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)
6 }9 k6 B( |/ U% o* l0 ]
, v* b4 r9 }9 E$ i( n) A) @事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:. l7 C. S* V: z- I7 {* e" Z
) P. X' R6 X; S" M) R/ e( ]+ NP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。
5 T) ^( n( B& q( Z. |# V* K+ {7 T' I
掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议
5 d% x3 f* R+ f% G. x1 f4 e8 ?, v- O i7 n
在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道
, v7 x( B" ?, t: }) j: H x/ ]. D: u0 K: e# T2 _6 Z
你是传说中的死理性派!
9 |7 J G6 T4 O1 ~6 ]% I! D9 a
( U, P. d( S# Y$ P' y. A5 V7 K6 E( X0 M/ o. U- M
# P1 I8 V3 N$ T% }/ k
5 {* @" N& [! `1 S, [
/ [8 L, K7 \, m+ l/ b0 X8 |" o! Y9 g9 T& ]1 p) b- d* O
# B" v/ E' x+ E/ b, k& y; X2 l |
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