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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑
1 `0 z& |$ o$ g1 |# y) i: T5 h; F6 O) i/ e
我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡
. b, y, \ R5 M+ w" ?( \) y( ~+ ~8 ~: q- e( M
(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的& G/ [0 o5 z+ L- Y" I" B
+ z4 u4 m# ]' f" q+ }
原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,# v, B$ C! l+ E4 X3 q, j, H/ i
, F; j G) j$ `. s# @# V
就算打赌,也要精“打”细算。
* X1 Z: d/ W1 c7 j! \) ^7 y# W' Q, w% D! w* ?3 a$ `
完美的DB
8 T3 o4 c5 {/ [
+ e) j( x. X& j! M# B: N. V% y( \5 M" s
NBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。* D; r# x: ~0 V
$ D/ M0 p" g$ i# Y. Y( o# }
粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概7 f% M& i/ Y( {/ c) R+ ~
3 o5 d; o0 ^. R率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我
) Q/ \ }% A D: F9 j. [0 L! n/ ?3 X! H1 J# J- r' H( {# h9 b* m+ X
们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!9 z, a* ^; i* }+ B S! R
5 n: L+ |3 J2 K0 x* `方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元,. w. j0 P: u$ j' m/ g# C
4 b- |9 D5 \9 u只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为
" X4 N. o4 u9 Y/ k
; ?$ |' K: ~$ T: ]7 c正,就会跟我们打赌:
, s' P% {7 q; r: _: B" [; H: e* e/ E% \% E l% n F
p * x - ( 1-p ) * y > 0
$ Z: H: @, o- z; D9 p% _0 J Eq * x - ( 1-q ) * y > 02 p' O+ Z: ~% a# r% f F/ a
加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就
3 o* l+ g' S x$ D8 j9 l$ Q3 V s& |, X% |& u
是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:
! N0 I% r3 d' S% b3 i% M7 f9 x
# f6 b' `+ U+ x9 {
6 c! i' L7 j1 c看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管# m6 J+ _1 s0 h* s. `/ o* p
( a! s1 J$ K& C3 ^“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又* o4 ?$ b& l; C% s. F
$ X2 w: L4 J( i) w' I/ ?. e7 _/ ~是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?$ @ Y8 ^3 k* c* ?! q5 m5 B! N
5 I- a" x; e3 I& t3 k$ D/ q
1 ^0 U B$ T' W1 T三张卡片的骗局
# _& A1 O2 u' @. O5 _- C$ e X2 f
# [0 _, n1 o/ T! o- W& l% e# D0 K' C1 [2 k; V
这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是
# J% \, c& j$ V9 G, N- E( b5 Y8 ~8 q
红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平
g x3 n1 _# P; c8 q* @
% A" ]+ D2 x# ^2 b放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面" R5 H/ p8 E, |3 q' \$ j/ f2 Y R
5 i) r/ x( h0 \! Z/ w) ~& z$ i1 `是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。* f: r8 g- c& C6 O
5 P s, u5 P& b$ T0 k0 K/ X, x
事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不; n0 T) {* i- v( H. s
5 m% A0 q9 E7 W; g: Y/ L# y1 S" ~9 U$ W
是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:
3 G; E: }2 X! K
' A$ T; d! F; {4 @- K) D
9 h. e& \- Y7 L. d! a, F& v. `" k9 i! R
) |8 `0 X4 p6 v0 P
1 @6 L% x- u+ c* K当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色
% |4 r0 X' R0 I: ?8 Q i4 ^8 ]+ b
2 r$ D/ J; d/ \8 s9 e的情形占了2/3。" }7 O% p5 ?2 p. ], R' O3 n% Y# e
& R' C5 V8 _# u( p4 T
这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这% j% b# J8 k9 U+ Z' c
! U+ L6 r; T' y& ^: n
个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国
) W! H/ g8 j; g1 f3 e- q) N4 N9 T! F; f2 B1 q' N0 C
数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)0 ~1 h' ]3 s$ g* {
3 X# A* B0 `: h9 U8 e; E称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。, D8 g- R0 N' O0 _
) j- W8 J1 }" J8 H- ]
如此不平凡的黑桃A6 f% f# S. l3 W/ P: A7 g+ e
7 v" i- a" N! E) X( i; V
有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面; b9 m+ }; j5 R6 @
# u/ q2 `7 Y! ?1 _3 E% \8 ]
就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我
0 E& I& g# P! f- {6 V* Z, v2 F$ l3 \- T l" s
还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,
8 a& w. K# U9 f/ T8 ]6 S$ l1 b; \! |" g' W* v
当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我
# ]2 P& \ a5 r" L |7 N# ^# r, u4 ?; X6 b
还有没有更多的A?”0 J- _) `1 Q2 C% P- ]! i( ~* U
; e( i1 | h2 q: F& b' p: k' |( o9 j) [很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人" q8 ]0 @1 s& C/ s/ r1 n
# f; [ j1 r# g q$ s不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:
' ?. g0 W+ H* F
4 q+ _- T4 Z0 q) z4 ]没有A的情形:C(48,13)
2 ^6 c6 \5 }0 A) P9 I8 Q2 ~0 L0 t! T6 |) p9 U3 N9 P) z8 }/ b
至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)9 R5 m$ R% J2 B0 M
" Q w. R4 q# H3 j3 h) X! j, b恰好有1张A的情形:4*C(48,12)
6 W# J& U, |) y% Q
; y+ Q$ d: z# D# ~至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)
/ q8 x8 \! q% |9 T+ Y; E3 [5 t h+ B7 D2 z' d2 F8 P$ @
事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:5 D0 u$ N0 _1 P' n1 d5 z2 q
" B+ O8 q. c) S0 Y* |P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/
2 D: I, w' K! l# Z(C(52,13)-C(48,13))≈37%5 W/ _9 V# T ^2 a# H0 {/ I! Y* k
2 o" ~3 z3 Q4 R% j) K这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家
. v8 f1 ^* a% D% W+ t. }打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,
7 S& K% d) Z4 x) A; e3 }& ?# {* A b: F' {' a$ ^- {
接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:) B5 P: W. j; w' L6 d0 l
, v- V' R0 j- R% N3 C; X有黑桃A的情形:C(51,12)
3 Y1 {9 D3 q$ u
( [- a' |) X/ H& g! w没有其它A的情形:C(48,12)
- m. q( l. A; T F$ |" q. B. Z
还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)
3 O9 O. y* e& ?# n
$ [ F5 r: E. u; [) Z事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:
) d d6 R$ b: J1 I* \" P
/ @4 N1 p4 i) Y) oP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。3 R6 ~" g$ m# D& G. D
' a; J! Q) E2 m) Q
掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议
3 G. ^ b( p, A( r$ A, w# d$ r1 k% M6 E% V$ a3 y) i
在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道3 q; ^: Z, F/ N: H9 t; U
" O" q5 D4 J/ `9 M' R) @
你是传说中的死理性派!
& V# @. T$ G+ b! N# L6 Z
; G1 \2 |- U; S! }. j$ t* Z$ [: o4 ~7 {+ u+ ~" |. h
1 W* K; N3 o/ z) K
. ^; k2 F( K0 \) j' J7 y" F1 P5 X! F% ~' J% J% w: O4 h
+ M. ?( H4 @" L! r3 D+ U- p
/ X+ {) W2 }) E* {
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