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真正开启21点之路的是一篇论文：《二十一点扑克游戏的最佳策略》（Roger Baldwin著）。2 w# j$ T% v( k# _8 q% j
2 s3 g' J5 y: V; \/ r! O
按Baldwin的策略估测，以1美元一把下注，玩1000把也只用交给赌场6美元手续费。
# G" [0 X; W5 o0 C. R2 N9 A. \! }( ]$ {7 e% J. U, L6 F
索普一学会这套方法，就奔赴拉斯维加斯大展身手，结果吃了好几个月的土。
) W6 d, P! I# o' ~8 P% C; M$ y
6 E& Q% y3 }( K: L& ~ \4 i+ Q 他决定改进Baldwin的方法。
8 s& f0 ]0 z9 e& b9 X5 B7 Y) T7 h# {, ^- I) C! c- c% a
在香农的建议下，他研究出制胜秘诀1.0，还发表了论文《财富公式：二十一点的制胜秘诀》。* Q- S8 E. P, T, `
3 \! Y0 t3 w# ^4 b5 o4 M这时纽约最大的庄家找上了他，决定投资他。
2 r1 \0 X$ L$ J: p7 u* `
1 B l$ {& ~* O, L. u他毫不犹豫的答应了，居然真的赢出第一桶金。
6 X `" z) K r- K
: t e/ r3 Z0 o0 y6 X随后他写了一本书《战胜赌场》，内容以数学研究为主，将高低数法公诸于世。
* p% d* C$ r) `! R1 `0 x/ L [ y+ g/ ^3 s) L: X' c% b3 J
所谓高低数法（H-L法）说起来很简单。/ o6 f# @9 a7 q0 I" k* m
$ q9 I/ f3 \6 V' S9 h* I8 v: f/ k
将2~6记作1，7~9记作0，T、A记作-1，通过简单的加减法快速记住场上牌的变化。0 Y4 f, ^. \, j" o" K
% _: H9 R. e. _( s' Y8 ~- v) b/ O- [! u
而高低数法认为，当余下的牌中，大牌越多，则对玩家有利（庄家更容易拿到大牌而爆牌），反之亦然。
: z4 q- y% ?3 N f4 x" A+ m; ?' G Q- P+ y$ ^3 F) ~. W
例如已经出现了，4、9、10、5、J、A、8，则现在点数是-1，逆风局。
" l* O% o5 K1 A& m0 ~: n: p0 C. o0 c# M- C, R0 _
' }1 q1 l b# c7 e# h3 m9 X0 @
在实际运用中，还需要计算真数，真数=点数/N副牌。
4 N# \3 I& |' s# q
/ n7 G. e3 c) d" p7 [9 N如点数为5，而庄家共使用5副牌发牌，则真数为1。0 i8 T! V4 H6 N q, u6 q
* V% `5 r, J% x) E# F: x
真数越大赢面越大，真数越小则赢面越小。! H" }8 A5 F- V/ Q- b2 q5 Y8 n
8 H3 c, O: W, H1 p- A8 m: i4 q4 Q. {: e5 M- w
因为索普的一本书，当时许多人都去赌场博21点。
4 E T" n- Q' a( z/ H* ], F0 G' {) k/ D, x, B6 s# i" Q' Z3 }$ q
不过赌场有意防范，真如索普一样封神的并不多。& N% Z3 D* H; A) i* R
& C+ j: O& R6 D, J7 ?而且高低数法只不过提高了2%的胜率，只有掌握好压注技巧，才能保证一定回合后不亏钱。8 V6 V* s; y( Q9 {. U
, o4 L5 g, I+ `9 H) Y3 Z# E/ L# E
就算是Blackjack team，也是经过大量训练，才有可能赚个盆满钵满。. M9 w! R' e( h5 y* _: k1 `) @1 d+ Y
7 B' a' E, J; _# H7 `' A- c: k( T1 u4 J4 T7 U/ q: \
其实，不论是最优策略，还是高低数法，都是为了削弱庄家优势。
* a! G4 g _) Y8 c& b9 x9 T
- L) ?" k; W* A- s- y! {/ C. i8 L1 T庄家优势是指在长远期限下，庄家占有数学优势，以确保赌场最终赚钱。$ {/ a' _; w; |- x2 j6 r; R7 W: I9 D
- h) P: \0 W$ u( ?0 y
尽管每一次游戏的结果都是随即或是说相互独立的，但总的来说，会趋向一个预期值，或称假设回扣。
3 I" m. @2 t6 ?6 C; J ^8 |) ^6 d" N" v, A# [
这也就导致，尽管短期可能赚钱，但长期来说还是会趋向于亏本。, k; M" f0 Q6 a/ K. }/ { S
5 D: n* m7 g+ M+ R5 g V) Y) F
" i; J9 Q7 F: R, ` M' p* _1 Q+ k为了减少这种庄家优势，数学就派上了用场。5 e5 X2 \6 x) ?7 a& e7 d
2 o$ B0 i! @" q2 d) h' ]+ e通过正确的决策思维，规避不必要的错误，夺取百分之几的优势。
1 ~* P+ M: u9 ~0 w& j1 x, Z
- X7 C; K) H- a- @2 f- o9 h但这百分之几投映到长远期限下，回报很惊人。9 t& N& P' O6 n, U9 U M( ]! k
) [+ Z h" l0 f H4 O9 T' h
可以说，这就是数学家与赌场数学的一场博弈。8 J, S, @, c- N- M9 D! G5 o
0 W5 P/ R' Y8 P2 `9 h
$ x% R7 p! a& V- ]$ p8 W( T9 {谈及数学的博弈，自然不可避免提到凯利公式。, t) ^3 M$ F( ~ G! L0 i
$ H& H \; @* T凯利公式由约翰·凯利于1956年在《贝尔系统技术期刊》发表。3 T$ j6 l) Q# q7 K) T, ~
# `" S( Y# N6 {# F+ O6 J$ A. h凯利公式是为了计算下注比例，当知道获胜率与赔率，可以推算出下注比例以求最大化收益。
1 l5 w/ R) M: Y2 P# f( j/ I& p3 G, A! K% B- n* R9 C {
: _& ^3 S8 I7 O' @! X% K
凯利公式的要点就在于如何推算获胜率。, u8 x5 M! H r6 i% J
( {1 C- g# {/ ?+ F- |因此凯利提出凯利公式时，就建立在有内线提供获胜率情报的情况下。
( T* }/ c |: L) W \' Q: N+ v$ p6 A+ ^. s6 V
但这个公式硬是被他的同事索普运用在21点上。
9 {4 W- A2 D1 }5 s. L# ]
5 Z1 z/ W& E9 f( b) H# G. ]索普不需要内线，用高低数法自己推测情报。, ]& ^ J. R1 h2 T4 e
9 F9 e ]: u7 {, W) N. Y' T4 _推算获胜率，给出最佳下注比例，大赚一笔。9 d/ N, k! [; l1 F! ]3 i- \
3 U P( Q" m& t0 _; e
3 z( p0 h' e- H8 K8 Z6 n- R# D数学家凭借异乎常人的计算能力自然能与赌场较量一番，同时也说明了一件事：( r) n1 v: c% `( n9 r7 y4 L+ n _( E! }
. D7 |" T8 S S" ?- U( S$ ^ T神仙打架，凡人莫近。- x0 p9 O; k; ]- E, u* G
# G9 \8 \9 a8 b" p) z6 X5 T3 P; _3 B% @4 N
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